人工智能数学-贝叶斯定理及其在机器学习算法中的应用

贝叶斯定理及其在机器学习算法中的应用

贝叶斯定理是整个统计领域最为重要的定理，本文由浅入深的讲述贝叶斯定理的推导过程，最后讲述其在机器学习算法中是如何应用的。看完本文后，做几道练习题即可掌握贝叶斯。

一、条件概率

条件概率就是计算，当事件B发生时，那么事件A发生的概率，在数学中的表示为

其中P(A∩B)表示事件B和时间A同时发生的概率，那么这个结果除上事件B发生的概率P(B)，就得到了当事件B发生时，事件A发生的概率，即P(A|B)

由以上公式，同理可得出

那么由条件概率公式可以推导得出

去掉中间的P(A∩B)，并且把左边的P(B)挪到右边去,那么最终得到贝叶斯定理

就是这么简单，此时应该想起那个广告，tiger，so easy！！！！

来个练习题

我饿了的概率是10%，我饿了在吃饭的概率是50%，我吃饭的概率是40% ，那么计算我吃饭的时候饿了的概率。

解答过程：

已知: P(饿)=10% P(吃|饿)=50% P(吃)=40%

P(饿|吃)的概率是多少

P(饿|吃) = P(饿)P(吃|饿)/P(吃)

P(饿|吃) = 0.1 * 0.5 / 0.4 = 0.125 = 12.5%

巧记：

从上学的时候就不愿意记公式，那么我们应该怎样记住贝叶斯呢？

三个AB即可记住。即：AB AB AB中间加上符号就可以啦！

P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)

非常的简单吧。

那么下面我们来推导一个复杂一点的。

二、全概率

全概率就是计算事件A一定会发生的概率，在数学中的表示为

一个事件的发生，可以在各种各样的情况下。比如上题中的吃饭，可以是我饿了，也可以是需要应酬，也可以是馋了就想吃，还可以是到饭点了，就要吃（小时候经常被妈妈这么管着，是吧），那么这些条件共同组成了我必须要吃饭这件事情的发生，也就是100%概率会发生的事，那么这就是全概率事件。

由以上可得出

P(吃饭)=P(吃饭)P(饿了)+P(吃饭)P(应酬)+P(吃饭)P(馋了)+P(吃饭)P(饭点了)......很多种情况

那么由第一部分的条件概率公式，是不是也可以换算成

P(吃饭)=P(吃饭|饿了)/P(饿了)+P(吃饭|应酬)/P(应酬)+P(吃饭|馋了)/P(馋了)+P(吃饭|饭点了)/P(饭点了)......很多种情况

那么其数学表示形式是：

首先：

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)

然后：

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

那么下面我们将第一部分我们得到的公式P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)其中的P(B)替换成全概率公式中得到的：

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)

就变成了

到这里，我们就将贝叶斯定理完全的推导完成啦。

来个练习题

有一种疾病的发病率为千分之一，医院中有一种化验技术可以针对该疾病进行检测，只要发病一定能够检测到，但误诊率为百分之五（也就是说这百分之五的人即使是没有病，那么化验结果也为阳性）。现在假设一个人化验结果显示为有病，那么这个人真实患病的概率有多大？

解答过程：

然后就是套一下数字，就得到了结果

贝叶斯定理在机器学习算法中的应用

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场景：垃圾邮件筛选

描述：邮件中包含“购买商品，不是广告”这句话的邮件是垃圾邮件么？

样本集：36封邮件，已知正常邮件24封，垃圾邮件12封

过程：首先使用分词技术(汉语分词技术有很多，可以采用jieba库进行分词即可),将“购买商品，不是广告”拆分成"购买"、"商品"、"不是"、"广告"，四个词。

那么已知：

1、正常邮件中，包含“购买”的邮件有2封，垃圾邮件中包含“购买”的邮件有5封

2、正常邮件中，包含“商品”的邮件有4封，垃圾邮件中包含“商品”的邮件有3封

3、正常邮件中，包含“不是”的邮件有4封，垃圾邮件中包含“不是”的邮件有3封

4、正常邮件中，包含“广告”的邮件有5封，垃圾邮件中包含“广告”的邮件有3封

那么如果我们不是分析邮件内容的话，那么一个邮件正常邮件的概率是2/3，垃圾邮件的概率是1/3

也就是说P(正常)=2/3和P(垃圾)=1/3

问：我们新来一个邮件，判断它是正常邮件还是垃圾邮件？

进一步说明：是正常还是垃圾，其实就是计算谁的概率大。

解：

最终得到，这封邮件到底是不是垃圾邮件呢？