KMP算法图文详解

KMP算法是解决字符串匹配的常用算法之一，也就是在主串（比如aabbccdd）中的子串（bc）定位问题。子串称为P，如果它在一个主串称为T中出现，就返回它的具体位置，我们先来看看普通的字符串匹配是怎么做的

最基础的匹配

思路：

当匹配到如图第四个字符位置后，匹配失败，子串后移，继续匹配

第一位匹配失败，继续后移…

直到匹配成功

代码如下：

这种方式是效率最低，匹配次数最多的情况，接下来看KMP的解决思路

KMP中的PMT

KMP在遇到下图位置时，不会很无脑的把子串的j移动到第0位，主串的i移动到第1位，然后进行T[i]==P[j]的比较

因为从图上可以看得出，最好应该是直接让i不变，j==0，如下图

从这里开始匹配，省去了前面的几次无用匹配。

KMP思想：利用前面匹配的信息，保持i指针不变，通过修改j指针，让子串尽量地移动到有效的位置。

先用肉眼来看一下规律：

如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同可以用：

再看一种：

可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：

我们可以看出来，匹配失败的时候，j变为k,j前面的的n个字符等于子串开头到k位置的n个字符的值

即：P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

这时我们发现规律了，其实就是要求当前j之前的字符串也就是ABCAB它的首尾对称的长度最大长度也就是PMT值。

PMT中的值是字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度。

所以上面最后一个图的情况下，j位置之前的字符串的PMT值为2，所以j的值变成2。

KMP之next数组

那么好了接下来核心就是next[j] = k，表示当T[i] != P[j]时，j应该变为k。

求next数组代码如下

通过上面代码可以直接算出j为0和1时的k，当j为0时，已经无法后退了所以设置为-1初始化值，当j为1时，它的前面只有下标0了，所以next[0]=-1,next[1]=0.

接下来就是两种主要情况了

第一种p[j] == p[k]

p[j] == p[k]时，有next[++j] = ++k;

因为当在p[j-1]处匹配失败后，j-1变为k-1，从k-1处重新开始匹配，原因就是他们共同有一个前缀A，所以当p[j] == p[k]后，他们就拥有了前缀AB所以k++；

第二种p[j] != p[k]

此时代码是：k = next[k];原因看下图

像上边的例子，我们已经不可能找到[ A，B，A，B ]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到[ A，B ]、[ B ]这样的前缀串的。所以这个过程就像在定位[ A，B，A，C ]这个串，当C和主串不一样了（也就是k位置不一样了），那当然是把指针移动到next[k]。

有了next数组之后就一切好办了，我们可以动手写KMP算法了：

KMP改进

KMP算法是存在缺陷的，来看一个例子：比如主串是aaaabcde，子串是aaaaax，next值为012345，当i=5时，如下图：

我们发现，当中的②③④⑤步骤，其实是多余的判断。由于子串的第二、三、四、五位置的字符都与首位的“a”相等，那么可以用首位next[1]的值去取代与它相等的字符后续next[j]的值，这是个很好的办法。因此我们对求next函数进行了改良。