深度剖析为什么 Python 中整型不会溢出？

花下猫语：前不久，我应读者提问而写了一篇《Python 的整数与 Numpy 的数据溢出》，简要介绍过 Python 中的整数表示法与数据溢出问题。那篇文章的猎奇/科普成分更大些，文章简短，干货量不足。为了弥补，今天特分享一篇深度的文章，大家一起来学习吧！

作者：weapon（本文获授权转载）

来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/37983326

剧照 | 《神雕侠侣》

前言

本次分析基于 CPython 解释器，python3.x 版本

在 python2 时代，整型有 类型和 长整型，长整型不存在溢出问题，即可以存放任意大小的整数。在 python3 后，统一使用了长整型。这也是吸引科研人员的一部分了，适合大数据运算，不会溢出，也不会有其他语言那样还分短整型，整型，长整型… 因此 python 就降低其他行业的学习门槛了。

那么，不溢出的整型实现上是否可行呢？

不溢出的整型的可行性

尽管在 C 语言中，整型所表示的大小是有范围的，但是 python 代码是保存到文本文件中的，也就是说，python代码中并不是一下子就转化成 C 语言的整型的，我们需要重新定义一种数据结构来表示和存储我们新的“整型”。

怎么来存储呢，既然我们要表示任意大小，那就得用动态的可变长的结构，显然，数组的形式能够胜任:

长整型的保存形式

长整型在python内部是用一个 数组( )保存值的. 待存储的数值的低位信息放于低位下标, 高位信息放于高下标.比如要保存 较大的数字,但我们的int只能保存3位(假设):

低索引保存的是地位，那么每个 元素保存多大的数合适？有同学会认为数组中每个int存放它的上限(2^31 - 1)，这样表示大数时，数组长度更短，更省空间。但是，空间确实是更省了，但操作会代码麻烦，比方大数做乘积操作，由于元素之间存在乘法溢出问题，又得多考虑一种溢出的情况。

怎么来改进呢？在长整型的 中元素理论上可以保存的int类型有 位，但是我们只保存 位，这样元素之间的乘积就可以只用 类型保存即可, 对乘积结果做位移操作就能得到尾部和进位 了，因此定义位移长度为 ：

也就是 ,通过与它做位运算 的操作就能得到低位数。

有了这种存放方式，在内存空间允许的情况下，我们就可以存放任意大小的数字了。

长整型的运算

加法与乘法运算都可以使用我们小学的竖式计算方法，例如对于加法运算:

为方便理解，表格展示的是数组中每个元素保存的是 3 位十进制数，计算结果保存在变量z中，那么 z 的数组最多只要 的空间（两个加数中数组较大的元素个数 + 1），因此对于加法运算，处理过程就是各个对应位置的元素进行加法运算，计算过程就是竖式计算的方式:

这部分的过程就是，先将两个加数中长度较长的作为第一个加数，再为用于保存结果的 z 申请空间，两个加数从数组从低位向高位计算，处理结果的进位，将结果的低 15 位赋值给 z 相应的位置。最后的 是一个整理函数，因为我们 z 申请了 的空间，但不意味着 z 会全部用到，因此这个函数会做一些调整，去掉多余的空间，数组长度调整至正确的数量。

若不方便理解，附录将给出更利于理解的 python 代码。

竖式计算不是按个位十位来计算的吗，为什么这边用整个元素？

竖式计算方法适用与任何进制的数字，我们可以这样来理解，这是一个 32768 (2的15次方) 进制的，那么就可以把数组索引为 0 的元素当做是 “个位”，索引 1 的元素当做是 “十位”。

乘法运算

乘法运算一样可以用竖式的计算方式，两个乘数相乘，存放结果的 z 的元素个数为 即可：

img

这里需要主意的是，当乘数 b 用索引 i 的元素进行计算时，结果 z 也是从 i 索引开始保存。先创建 z 并初始化为 0，这 z 进行累加，加法运算则可以利用前面的 函数：

这大致就是乘法的处理过程，竖式乘法的复杂度是n^2，当数字非常大的时候（数组元素个数超过 70 个）时，python会选择性能更好，更高效的 乘法运算方式，这种的算法复杂度是 3nlog3≈3n1.585，当然这种计算方法已经不是今天讨论的内容了。有兴趣的小伙伴可以去了解下。

总结

要想支持任意大小的整数运算，首先要找到适合存放整数的方式，本篇介绍了用 int 数组来存放，当然也可以用字符串来存储。找到合适的数据结构后，要重新定义整型的所有运算操作，本篇虽然只介绍了加法和乘法的处理过程，但其实还需要做很多的工作诸如减法，除法，位运算，取模，取余等。

python代码以文本形式存放，因此最后，还需要一个将字符串形式的数字转换成这种整型结构:

这部分不是本篇的重点，有兴趣的同学可以看看这个转换的过程，这个过程还是比较繁琐的，因为它还要处理进制问题,能够处理 0xfff3 或者 0b1011 等情况。

附录