2.人工智能数学基础：函数的单侧极限证明

大家好！编程攻略的巫老师，今天跟大家分享函数的单侧极限的证明方式，希望对大家编程内功有所帮助。我们将会不断的推出java 、C/C++、Python、Linux、系统运维等有关编程技术的视频，敬请期待！

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我们使用的是同济大学数学系出版的第六版高等数学教材

引言

在高等数学中，很多性质不再像是高中那样，直接给出一个定义或者性质，而是要“为了证明而证明”，这和高中的思维很不一样，也许你认为“本来就是这样”的定义和公式，都是通过严谨的证明出来的！从今天开始，我们也要形成高等数学的思维模式，一切都不是想当然，而是“推理证明”的结果！

课程目标：

1、理解函数的左右极限和函数极限的关系。

2、体会数学分析的数学思考方式和方法。

性质一：

函数趋向一个值时，极限存在的充要条件是：左右极限各自存在并且相等！

大家也许不是很理解什么是“充要条件”，其实“充要条件”表达的是：AB；

通过A能推出B，反过来B也能推出A；

这句话的意思是说：

1如果函数在X0点的极限A，那么该函数在X0点的左右极限都是A；

2如果函数在X0点的左右极限是A，那么该函数在X0点的极限是A；

单侧极限

了解左右趋近符号：

下面我们用数学分析的方式去证明以上的两个定义！

大家看到上面的证明，绝对是想不到这么证明方式！！这就是高等数学的分析思路！大学数学就是在训练这种分析和证明的思维方法！这就是数学语言！现在大家还没有形成这种证明的思维方式！这和高中的思维方式的绝对不同的！现在只能强行记忆这种分析方式！

此阶段，我只能带着大家去分解理解这种分析方式！

求证：如果函数在X0点的极限A，那么该函数在X0点的左右极限都是A；

这句话暗含着

x的移动方向只有两种，x向左边靠近x0，或向右靠近x0

当x一直从右向左移动时候：

所以存在：在0

当x一直从左向右移动时候：

也存在：在0

所以：如果函数在X0点的极限A，那么函数在X0点的的左极限和右极限都是A；

求证：如果函数在X0点的左右极限是A，那么该函数在X0点的极限是A；

所以：存在任意的ε>0，存在δ1>0 ，当0

我们这里为了理解，假设：δ=δ20，对所有的δ>0，使得当0

求证思路：要想使该等式成立，那么只要求证左极限等于右极限即可！

首先证明：右极限

证明：当x->0+,x从右往左趋向0时，可知x

因为：

那么存在ε>0, 对任意的x-1-0x-00，该不等式不成立！

所以：

再证明左极限：

证明：当x->0-,x从左往右趋向0时，可知x>0，所以：f(x)=x+1;

那么存在ε>0, 对任意的(x+1-0)x-0

因为：x>0，而ε可以取值小于1，ε-1

所以：

最极限不等于右极限，所以