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数据降维:主成分分析法

前言

什么叫做主成分分析法,我们先看一张图椭圆的图,如果让你找一条线,使得椭圆上所有点在该线上映射的点最分散,保留下来的信息最多,你会怎么选择这条线?若是下图,会选择水平线,这是用一维的方式去尽可能多的表示二维的数据,那么多维的数据呢,是否可以用较低维的数据尽可能表示。

如何用二维的平面去尽可能表示一个椭球面呢?

思想

主成分分析法是一种统计方式,简化数据的方式,是一种线性变换,把数据变换到新的坐标系中,使得任意投影的第一大方差映射到第一主成分上,第二大方差映射到第二主成分上。如果舍弃高维的主成分,一般可以达到保留对方差贡献最大的特征,在一些方面上,可以保留数据的主要特征,当然,为了数据更好看,我们会把坐标轴的中心移到数据的中心,这可以让数据处理起来更方便。

高斯分布在数学上

在数学上,我们用

范数的平方(

范数的平方与其本身在相同位置取得最小值,单调递增,性质更好)来计算,x 为输入,

为最优编码:

(其中

由上可知,若要得到c只需要一个矩阵乘法。定义重构操作:

其中

经过复杂的 推导,用数学归纳法可以证明,矩阵 D 可以由前

的前

个最大的特征值对应的特征向量组成。

总结

主成分分析法主要用于数据降维,目标为尽量减少原数据的损失的情况下,尽可能减少数据量。

  • 发表于:
  • 原文链接https://kuaibao.qq.com/s/20210119A01TWU00?refer=cp_1026
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