财务算法思路：卷积运算的启示

在各种工程领域，小伙伴们可能看到这类相关的名词：

输入---系统---输出

（input---system---output）

而如果用通俗易懂的数据公式表达这个过程，即是：

输出=输入*系统

虽然这是一个看起来极其简单的数学公式，但在自然界这类公式无处不在，而计算一个系统输出的最好的方法就是运用卷积，推广下去，还有很多其他领域的运用：

1.统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。

2.概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。

3.声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。

4.电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得

5.物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

6.计算机科学中，卷积神经网络（CNN）是深度学习算法中的一种，近年来被广泛用到模式识别、图像处理等领域中。

一、卷积的定义

我们称f∗g(n)为f,g的卷积

其连续的定义为

其离散的定义为

这两个式子有一个共同的特征n=τ+(n−τ)我们令x=τ,y=n−τ,那么x+y=n就是如下图中的直线：

如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：

二、卷积的应用

1、丢骰子问题（离散卷积）

假如我们有两枚骰子，要求两枚骰子的点数加起来为4的概率是多少？

我们将骰子各个点数的概率表示出来

那么这两枚骰子点数加起来为4的概率就有

因此两枚骰子点数加起来为4的概率为：

符合卷积的定义，写成标准形式即为：

2、做面包问题（连续卷积）

某面包店买了台新的面包机器用于生产面包，机器不停工作，假设机器生成面包的速度为f(t), 而面包生产出来后会慢慢腐败，假设腐败函数为g(t)，求一天后面包总共腐败了多少？

一天后生产的面包数量为：

假设有10个面包，24个小时会腐败10∗g(t),第一个小时生产出来的面包会腐败23个小时,而第二个小时生产出来的面包会腐败22个小时,依次类推,那么一天后面包总共腐败了:

他也符合卷积的定义

3.卷积在图像中的应用

有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点，我们需要平滑这部分噪点，该如何处理？

这些高频信号就好比平地耸立的山峰：

平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去，就是把山峰周围的高度平均一下。平滑后的图片：

卷积可以帮助实现这个平滑算法有噪点的原图，可以转换成一个矩阵

然后用一个平均矩阵来平滑图像（一般平滑处理适用正态分布矩阵，这里为了简单用算数平均矩阵代替）

如果我要平滑a1,1点,就在矩阵中取出a1,1点附近的点组成矩阵f, 和g进行卷积计算后再填回去

这里需要注意,f,和g虽然同维度,计算的时候下标不同

计算过程动图展示：

写成卷积公式：

要求其他位置的,一样可以套用上面的卷积公式。这样相当于实现了g这个矩阵在原来图像上的划动（准确来说，下面这幅图把g矩阵旋转了180∘：

卷积运算动图展示：

4.财务领域的应用

依惯例先上图

案例：

假设你是复联的财务总监，现在需要你参与反浩克装甲的流程设计，你将如何开展工作？

类似于分步骤实施的核算过程，其本质思路也是：

输入---系统---输出

因此，运用卷积运算的思路，可以从容应对制造飞机大炮火箭轮船这类高精尖计算。

小伙伴们，你学会了吗？

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