几何非线性| 描述运动

初始构形、当前构形和参考构形

▲图1

如图1所示,考虑在时刻

处于初始状态的一连续体,它在欧氏空间中所占的区域为

。通常假定初始状态为未变形状态,称为该连续体的初始构形(initial configurafions)或未变形构形。注意这是理想模型的概念,实际上很少存在未变形状态的物体。在当前时刻,由于各种因素作用引起该连续体发生了变形,并在空间有位置移动,其在欧氏空间中所占区域变为

。区域

称为该连续体的当前构形(current corfigurafions)或变形构形。显然,在该连续体由初始构形

变换到当前构形

的过程中,存在有无数个中间构形。为建立这一变化过程中连续体中全部或部分物质点的质量、动量以及能量等物理量的守恒律,人们需要选择或定义一个构形,连续体的各方程均参考它建立,该构形称为参考构形(referential configurations),在固体力学中通常选取连续体的初始构形为参考构形。

运动的描述

在阐述空间与物质描述之前,我们先引人以下几个基本概念

• 物质点与物质坐标

考察连续体中一个典型的物质点,通常以它在初始构形

中的位置向量

表示。

称为物质坐标或Lagrangian坐标,物质坐标表征了一个物质点，且每个物质点对应唯一的物质坐标。

▲图2

图2可以看出,一个Lagrangian网格像是生长在材料上一样:当材料变形时,单元网格随着变形。

• 空间点与空间坐标

空间坐标或称为Eulerian坐标,通常用

表示,它仅表示在空间中一个点的位置。该位置在某一时刻由某一物质点占据,在下一时刻将由其他物质点占据。例如，广州白云国际机场的位置是北纬

，东经

，可看作空间坐标。而进出机场的乘客可看作物质点，乘客在白云机场，物质点坐标就是北纬

，东经

，乘客到达上海浦东机场，物质点坐标就是浦东机场的经纬度了。

• 映射

连续体的运动或变形可通过函数

表示,它给出了一个物质点作为时间的函数在时刻

的空间位置,即

式中

是一个矢量函数,定义了由

到

的映射。若

固定,

变化,式(1)给出了物质点

的运动轨迹。反之,也存在逆映射

它给出了任一时刻

占有空间坐标

的特定物质点

。一个物质点的物质坐标通常取为连续体在初始构形下此物质点的空间坐标

。引用上面的例子，乘客在白云机场为初始构形，物质坐标就是白云国际机场的位置(空间坐标)。

▲图3

图3所示的一个初始构形和当前构型的映射，由(1)可得到

的两个坐标分量为

其中

的范围从

到

，对应

的范围从

到

。