有限元| 梁单元自由度释放

fem178

发布于 2024-05-20 15:33:18

1350

发布于 2024-05-20 15:33:18

在ANSYS中模拟梁单元的铰接有两种方法，分别是自由度耦合命令cp与自由度释放命令endrelease，关于这两个命令的使用，可以査阅《ANSYS工程结构数值分析》P350~P353。BEAM3单元采用cp命令，其理论可参考有限元 | 多点约束

BEAM44单元采用KEYOPT(7)释放自由度，其方法是释放“刚度矩阵”，其操作是在建立单元的过程中完成的。下面探讨其理论依据。

梁单元刚度方程

\frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix}12 & 6l & -12 & 6l \\ 6l & 4l^2 & -6l & 2l^2 \\ -12 & 6l & 12 & -6l \\ 6l & 2l^2 & -6l & 4l^2 \\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \omega_1\\ \theta_1\\ \omega_2\\ \theta_2\\ \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} F_1\\ M_1\\ F_2\\ M_2\\ \end{Bmatrix} \quad (1)

▲图1

在某些情况下，梁可能包含内部铰链，这会导致挠度曲线斜率的不连续性以及弯矩为零。如果我们要使用有限元方法来分析图1中所示的梁，我们将使用两个单元来离散之。铰链应只考虑一次，或者与单元1相关联，或者与单元2相关联。如果梁由两个单元离散化，一个单元右端有铰链，另一个单元左端有铰链，结果将是奇异刚度矩阵。如果单元节点2有铰，则刚度方程(1)的分块矩阵形式

\left[ \begin{array}{c|c} \mathbf k_{11} & \mathbf k_{12} \\ \hline \mathbf k_{21} & \mathbf k_{22} \\ \end{array} \right] \begin{Bmatrix} \mathbf d\\ \ldots \\ \theta_2\\ \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \mathbf F\\ \ldots \\ M_2\\ \end{Bmatrix} \quad (2)

由(2)得

\begin{split} \mathbf k_{11}\mathbf d + \mathbf k_{12}\theta_2 & = \mathbf F \\ \mathbf k_{21} \mathbf d + \mathbf k_{22}\theta_2 & = M_2\\ \end{split} \quad (3)

解得

\theta_2 = \mathbf k_{22}^{-1}(M_2-\mathbf k_{21}\mathbf d ) \quad (4)

(\mathbf k_{11}-\mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}\mathbf k_{21})\mathbf d = \mathbf F - \mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}M_2 \quad (5)

记

\mathbf K_C = \mathbf k_{11}- \mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}\mathbf k_{21}

则

\mathbf K_C \mathbf d = \mathbf F \quad (6)

其中

\mathbf K_C = \frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix} 3 & 3l & -3 \\ l & 3l^2 & -3l\\ -3 & -3l & 3 \\ \end{bmatrix}

按照(1)的形式，节点2为铰接的梁刚度方程为

\begin{bmatrix} 3 & 3l & -3 & 0\\ l & 3l^2 & -3l& 0\\ -3 & -3l & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \omega_1\\ \theta_1\\ \omega_2\\ \theta_2\\ \end{Bmatrix}= \begin{Bmatrix} F_1\\ M_1\\ F_2\\ 0\\ \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix} \mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}M_2\\ 0\\ \end{Bmatrix} \quad (7)

▲图2

[例1] 如图2所示的结构，若划分2个单元，中间的铰接点只能考虑一次，即单元1的右节点释放自由度。单元1的刚度矩阵

k_1=\frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix} 3 & 3l & -3 & 0\\ l & 3l^2 & -3l& 0\\ -3 & -3l & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}

单元1的等效节点荷载

\begin{split} f_1 & = \begin{Bmatrix} F_1\\ M_1\\ F_2\\ 0\\ \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix} \mathbf k_{12}\mathbf k_{22}^{-1}M_2\\ 0\\ \end{Bmatrix}\\ & = \begin{Bmatrix} -\frac {P}{2} \\ -\frac {Pl}{8} \\ -\frac {P}{2}\\ 0\\ \end{Bmatrix}- \begin{Bmatrix} \frac {6EI}{l^2} \\ \frac {2EI}{l} \\ -\frac {6EI}{l^2} \\ 0\\ \end{Bmatrix} \frac {l}{4EI} \frac {Pl}{8} \\ & = \begin{Bmatrix} -\frac {11P}{16} \\ -\frac {3Pl}{16} \\ -\frac {5P}{16}\\ 0\\ \end{Bmatrix}\\ \end{split}

单元2的刚度矩阵

k_2 = \frac {EI}{l^3} \begin{bmatrix}12 & 6l & -12 & 6l \\ 6l & 4l^2 & -6l & 2l^2 \\ -12 & 6l & 12 & -6l \\ 6l & 2l^2 & -6l & 4l^2 \\ \end{bmatrix}

本文思路和动力学中缩减自由度一样

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原始发表：2024-05-13，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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