机器学习方法概论

1. 机器学习的对象是：具有一定的统计规律的数据。
2. 机器学习根据任务类型，可以划分为： \mathbf{\vec x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end{bmatrix}
   • 监督学习任务：从已标记的训练数据来训练模型。 主要分为：分类任务、回归任务、序列标注任务。
   • 无监督学习任务：从未标记的训练数据来训练模型。主要分为：聚类任务、降维任务。
   • 半监督学习任务：用大量的未标记训练数据和少量的已标记数据来训练模型。
   • 强化学习任务：从系统与环境的大量交互知识中训练模型。

3. 机器学习根据算法类型，可以划分为：
   • 传统统计学习：基于数学模型的机器学习方法。包括SVM、逻辑回归、决策树等。 这一类算法基于严格的数学推理，具有可解释性强、运行速度快、可应用于小规模数据集的特点。
   • 深度学习：基于神经网络的机器学习方法。包括前馈神经网络、卷积神经网络、递归神经网络等。 这一类算法基于神经网络，可解释性较差，强烈依赖于数据集规模。但是这类算法在语音、视觉、自然语言等领域非常成功。

4. 没有免费的午餐定理(No Free Lunch Theorem:NFL)：对于一个学习算法A，如果在某些问题上它比算法B好，那么必然存在另一些问题，在那些问题中B比A更好。 因此不存在这样的算法：它在所有的问题上都取得最佳的性能。因此要谈论算法的优劣必须基于具体的学习问题。

一、基本概念

1.1 特征空间

1. 输入空间 ：所有输入的可能取值；输出空间 ：所有输出的可能取值。 特征向量表示每个具体的输入， 所有特征向量构成特征空间。
2. 特征空间的每一个维度对应一种特征。
3. 可以将输入空间等同于特征空间，但是也可以不同。绝大多数情况下，输入空间等于特征空间。 模型是定义在特征空间上的。

1.2 样本表示

1. 通常输入实例用

表示，真实标记用

表示，模型的预测值用

表示。 具体的输入取值记作

；具体的标记取值记作

；具体的模型预测取值记作

。

1. 所有的向量均为列向量，其中输入实例

的特征向量记作 （假设特征空间为

维）：

这里

为

的第

个特征的取值。第

个输入记作

，它的意义不同于

。

1. 训练数据由输入、标记对组成。通常训练集表示为：

。

• 输入、标记对又称作样本点。
• 假设每对输入、标记对是独立同分布产生的。

1. 输入

和标记

可以是连续的，也可以是离散的。

为连续的：这一类问题称为回归问题。

为离散的，且是有限的：这一类问题称之为分类问题。

和

均为序列：这一类问题称为序列标注问题。

二、监督学习

2.1 监督学习

1. 监督学习中，训练数据的每个样本都含有标记，该标记由人工打标，所以称之为监督 。
2. 监督学习假设输入

与标记

遵循联合概率分布

，训练数据和测试数据依联合概率分布

独立同分布产生。 学习过程中，假定这个联合概率分布存在，但是具体定义未知。

1. 监督学习的目的在于学习一个由输入到输出的映射，该映射由模型表示。 模型属于由输入空间到输出空间的映射的集合，该集合就是解空间。解空间的确定意味着学习范围的确定。
2. 监督学习的模型可以为概率模型或者非概率模型：
   • 概率模型由条件概率分布

   表示。

   • 非概率模型由决策函数

   表示。

3. 监督学习分为学习和预测两个过程。 给定训练集

，其中

为输入值，

是标记值。假设训练数据与测试数据是依据联合概率分布

独立同分布的产生的。

• 学习过程：在给定的训练集

上，通过学习训练得到一个模型。该模型表示为条件概率分布

或者决策函数

• 预测过程：对给定的测试样本

，给出其预测结果：

• 对于概率模型，其预测值为：

• 对于非概率模型，其预测值为：

1. 可以通过无监督学习来求解监督学习问题

：

• 首先求解无监督学习问题来学习联合概率分布

• 然后计算：

。

2.2 生成模型和判别模型

1. 监督学习又分为生成方法和判别方法，所用到的模型分别称为生成模型和判别模型。
2. 生成方法 ：通过数据学习联合概率分布

，然后求出条件概率分布

作为预测的模型。 即生成模型为：

• 生成方法的优点：能还原联合概率分布

，收敛速度快，且当存在隐变量时只能用生成方法。

• 生成方法有：朴素贝叶斯法，隐马尔可夫链。

1. 判别方法 ：直接学习决策函数

或者条件概率分布

的模型。

• 判别方法的优点：直接预测，一般准确率更高，且一般比较简化问题。
• 判别方法有：逻辑回归，决策树。

三、机器学习三要素

1. 机器学习三要素：模型、策略、算法。

3.1 模型

1. 模型定义了解空间。监督学习中，模型就是要学习的条件概率分布或者决策函数。 模型的解空间包含了所有可能的条件概率分布或者决策函数，因此解空间中的模型有无穷多个。
   • 模型为一个条件概率分布： 解空间为条件概率的集合：

   。其中：

   为随机变量，

   为输入空间，

   为输出空间。 通常

   是由一个参数向量

   决定的概率分布族：

   。其中：

   只与

   有关，称

   为参数空间。

   • 模型为一个决策函数： 解空间为决策函数的集合：

   。其中：

   为变量，

   为输入空间，

   为输出空间。 通常

   是由一个参数向量

   决定的函数族：

   。其中：

   只与

   有关，称

   为参数空间。

2. 解的表示一旦确定，解空间以及解空间的规模大小就确定了。 如：一旦确定解的表示为：

，则解空间就是特征的所有可能的线性组合，其规模大小就是所有可能的线性组合的数量。

1. 将学习过程看作一个在解空间中进行搜索的过程，搜索目标就是找到与训练集匹配的解。

3.2 策略

1. 策略考虑的是按照什么样的准则学习，从而定义优化目标。

3.2.1 损失函数

1. 对于给定的输入

，由模型预测的输出值

与真实的标记值

可能不一致。此时，用损失函数度量错误的程度，记作

，也称作代价函数。

1. 常用损失函数：
   • 0-1 损失函数：
   • 平方损失函数MSE：
   • 绝对损失函数MAE：
   • 对数损失函数：

   。

   • 其物理意义是：二分类问题的真实分布与模型分布之间的交叉熵。
   • 一个简单的解释：因为样本

   易经出现，所以理论上

   。 如果它不为 1，则说明预测存在误差。越远离1，说明误差越大。

2. 训练时采用的损失函数不一定是评估时的损失函数。但通常二者是一致的。 因为目标是需要预测未知数据的性能足够好，而不是对已知的训练数据拟合最好。

3.2.2 风险函数

1. 通常损失函数值越小，模型就越好。但是由于模型的输入、标记都是随机变量，遵从联合分布

， 因此定义风险函数为损失函数的期望：

其中

分别为输入空间和输出空间。

1. 学习的目标是选择风险函数最小的模型 。
2. 求

的过程中要用到

,但是

是未知的。 实际上如果它已知，则可以轻而易举求得条件概率分布，也就不需要学习。

3.2.3 经验风险

1. 经验风险也叫经验损失。 给定训练集

，模型关于

的经验风险定义为：

经验风险最小化 (empirical risk minimization:ERM) 策略认为：经验风险最小的模型就是最优的模型。即：

1. 经验风险是模型在

上的平均损失。根据大数定律，当

时

。 但是由于现实中训练集中样本数量有限，甚至很小，所以需要对经验风险进行矫正。

1. 结构风险是在经验风险上叠加表示模型复杂度的正则化项（或者称之为罚项）。它是为了防止过拟合而提出的。 给定训练集

，模型关于

的结构风险定义为：

其中：

为模型复杂度，是定义在解空间

上的泛函。

越复杂，则

越大。

为系数，用于权衡经验风险和模型复杂度。

1. 结构风险最小化 (structurel risk minimization:SRM) 策略认为：结构风险最小的模型是最优的模型。即：

1. 结构风险最小化策略符合奥卡姆剃刀原理：能够很好的解释已知数据，且十分简单才是最好的模型。

3.2.4 极大似然估计

1. 极大似然估计就是经验风险最小化的例子。
2. 已知训练集

，则出现这种训练集的概率为：

。 根据

出现概率最大，有：

定义损失函数为：

，则有：

即：极大似然估计 = 经验风险最小化 。

3.2.5 最大后验估计

1. 最大后验估计就是结构风险最小化的例子。
2. 已知训练集

，假设已知参数

的先验分布为

，则出现这种训练集的概率为：

。 根据

出现概率最大：

定义损失函数为：

；定义模型复杂度为

；定义正则化系数为

。则有：

即：最大后验估计 = 结构风险最小化。