DFP拟牛顿法也称为DFP校正方法,DFP校正方法是第一个拟牛顿法,是有Davidon最早提出,后经Fletcher和Powell解释和改进,在命名时以三个人名字的首字母命名。
对于拟牛顿方程:
化简可得:
令
可以得到:
在DFP校正方法中,假设:
DFP拟牛顿法的算法流程如下:
求解无约束优化问题
其中,
python程序实现:
#coding:UTF-8
'''''
Created on 2015年5月19日
@author: zhaozhiyong
'''
from numpy import *
#fun
def fun(x):
return 100 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) ** 2 + (x[0,0] - 1) ** 2
#gfun
def gfun(x):
result = zeros((2, 1))
result[0, 0] = 400 * x[0,0] * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) + 2 * (x[0,0] - 1)
result[1, 0] = -200 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0])
return result
#coding:UTF-8
'''''
Created on 2015年5月19日
@author: zhaozhiyong
'''
from numpy import *
from function import *
def dfp(fun, gfun, x0):
result = []
maxk = 500
rho = 0.55
sigma = 0.4
m = shape(x0)[0]
Hk = eye(m)
k = 0
while (k < maxk):
gk = mat(gfun(x0))#计算梯度
dk = -mat(Hk)*gk
m = 0
mk = 0
while (m < 20):
newf = fun(x0 + rho ** m * dk)
oldf = fun(x0)
if (newf < oldf + sigma * (rho ** m) * (gk.T * dk)[0,0]):
mk = m
break
m = m + 1
#DFP校正
x = x0 + rho ** mk * dk
sk = x - x0
yk = gfun(x) - gk
if (sk.T * yk > 0):
Hk = Hk - (Hk * yk * yk.T * Hk) / (yk.T * Hk * yk) + (sk * sk.T) / (sk.T * yk)
k = k + 1
x0 = x
result.append(fun(x0))
return result
#coding:UTF-8
'''''
Created on 2015年5月19日
@author: zhaozhiyong
'''
from bfgs import *
from dfp import dfp
import matplotlib.pyplot as plt
x0 = mat([[-1.2], [1]])
result = dfp(fun, gfun, x0)
n = len(result)
ax = plt.figure().add_subplot(111)
x = arange(0, n, 1)
y = result
ax.plot(x,y)
plt.show()