今天是《python算法教程》的第10篇读书笔记。笔记的主要内容是使用python实现求最小点对的时间复杂度为O(nlogn)的算法。

平面最小点对问题介绍

在几何学中，有一个基本问题：在一个平面的n个点中，求距离最近的两个点。 最直接的思路是遍历所有的点对，通过比较所有点对的距离找出距离最近的两点，即暴力算法。但是，这个思路的时间复杂度为O(n^2)。显然，这种算法的时间复杂度是不能接受的。 因此，是否可以考虑通过分治法的思路，将上述问题的解法的时间复杂度控制在O(nlog2n)?答案是可以的。具体的算法讲解可参考下述博文：

https://blog.csdn.net/lishuhuakai/article/details/9133961

但运用分治法求解上述问题时，需要注意一点，距离最小的两个点可能不在于同一个分组的点集中，而是分别来自于不同的点集中。

代码演示

暴力算法

#计算两点的距离
import math
def calDis(seq):
    dis=math.sqrt((seq[0][0]-seq[1][0])**2+(seq[0][1]-seq[1][1])**2)
    return dis

#暴力算法主体函数
def calDirect(seq):
    minDis=float('inf')
    pair=[]
    for i in range(len(seq)):
        for j in range(i+1,len(seq)):
            dis=calDis([seq[i],seq[j]])
            if dis <minDis:
                minDis=dis
                pair=[seq[i],seq[j]]
    return [pair,minDis]

分治法求解

#求出平面中距离最近的点对（若存在多对，仅需求出一对）
import random
import math

#计算两点的距离
def calDis(seq):
    dis=math.sqrt((seq[0][0]-seq[1][0])**2+(seq[0][1]-seq[1][1])**2)
    return dis

#生成器：生成横跨跨两个点集的候选点，由于点集是按纵坐标升序排序，right点集的点的纵坐标必定大于u的纵坐标，故只需检查纵坐标是否大于u[1]+dis，且只需最多检查right点集中纵坐标最小的6个点
def candidateDot(u,right,dis):
    cnt=0
    for v in right:
        cnt+=1
        if v[1]>u[1]+dis or cnt>3:
            break
        yield v

#求出横跨两个部分的点的最小距离
def combine(left,right,resMin):
    med_x=(left[-1][0]-right[0][0])/2
    dis=resMin[1]
    minDis=resMin[1]
    pair=resMin[0]
    for u in left:
        if u[0]<med_x-dis:
            continue
        for v in candidateDot(u,right,dis):
            dis=calDis([u,v])
            if dis<minDis:
                minDis=dis
                pair=[u,v]
    return [pair,minDis]


#分治求解
def divide(seq):
    #求序列元素数量
    n=len(seq)
    #按点的纵坐标升序排序
    seq=sorted(seq,key=lambda y:y[1])
    #递归开始进行
    if n<=1:
        return None,float('inf')
    elif n==2:
        return [seq,calDis(seq)]
    else:
        half=int(n/2)
        left=seq[:half]
        resLeft=divide(left)
        right=seq[half:]
        resRight=divide(right)
        #获取两集合中距离最短的点对
        if resLeft[1]<resRight[1]:
            resMin=combine(left,right,resLeft)
        else:
            resMin=combine(left,right,resRight)
        pair=resMin[0]
        minDis=resMin[1]
    return [pair,minDis]

    
seq=[(random.randint(0,100000),random.randint(0,1000000)) for x in range(100000)]
print(sorted(seq,key=lambda y:y[0]))
print("优化算法",divide(seq))