码农眼中的数学之~数学基础

1.基础概念

线性代数研究的是什么内容?

  1. 把2维世界转换成2维的世界
  2. 把3维世界转换成2维的世界
  3. 把2维世界转换成3维的世界

1维直线、2维平面(长宽)、3维空间(长宽高 | xyz轴)、4维时空(xyz轴+时间轴)

学习中主要就是学习 矩阵向量等,理解 线性映射特征值特征向量等。

总结:线性代数就是一门将M维世界与N维世界联系起来的学科

1.1.数的分类

一开始人们用的数都是 自然数 (0、1、2...)来计算

后来发现用小数减大数就没法计算了。eg: 1-2=?

接着就引入了 负数,然后常用的数就变成了 整数 (正整数、0、负整数),这样就可以快乐的 加减乘运算

整数:

  • 自然数
  • 负数

后来发现,像 1/3=?这类的不能整除了,于是就引入了 分数

这样数的界限又扩充了,就叫 有理数 ,这样加减乘除都可以通过分数来表示了

有理数(分数):

  • 整数
    • 正整数
    • 0
    • 负整数

好景不长,之后求圆面积啥的,又发现了像 π、√3这类的,没法用分数表示的数,

于是就又在原有基础上扩展了,加入了 无理数,数的界限又扩展了==> 实数

实数(小数):

  1. 有理数(分数)
    • 正整数
    • 0
    • 负整数
    • 整数
    • 非整数的有理数
  2. 无理数

这下总算可以了吧,可事实往往出乎意料,像二次曲线求解有无解的情况(曲线跟x轴不相交)

这太不科学了吧,然后就引入了 虚数i 的概念,并定义 i²=-1,数的范围又扩大了,就叫 复数

举个例子(后面有推导):

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

以前我们遇到: x²+3=0,因为判别式 b²-4ac<0 所以方程无解(或者曲线画出来,看跟x轴有几个交点==>就说明有几个解)

其实我们中学学的这个无解,指的是在实数范围内无解

引入虚数后: x²+3=0==> x²-(-3)=0,因为 i²=-1 ==> (x+√3i)(x-√3i)=0 有解了

# 画个图看看曲线长什么样
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成x和y的值
x_list = list(range(-10, 11))
y_list = [x**2 + 3 for x in x_list] # 2**3 ==> 8 **是Python里面的幂运算符

print(x_list)
print(y_list)

# 画图
plt.plot(x_list, y_list)
# 显示图片
plt.show()
[-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[103, 84, 67, 52, 39, 28, 19, 12, 7, 4, 3, 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, 84, 103]

综上所述,数可以分为:

复数: z=a+bi,i²=-1

  1. 实数(虚部b=0)
    • 无限不循环小数:π、√3
    • 正整数:1、2、3
    • 0
    • 负整数:-1、-2、-3
    • [正负]有限小数:0.3 ==> (3/10)
    • [正负]循环小数:0.3333... (1/3)
    • 有理数
    • 无理数
    1. 整数
    2. 非整数的有理数([正负]分数)
  2. 虚数(虚部b!=0)
    • 纯虚数(虚部b!=0,且实部a=0)
    • 非纯虚数

扩展:二次方程 求解公式的推导

这个应该是初中学的,很多学校教数学就让背公式,其实这样容易忘记(你好几年不接触数学公式还记得?)会推导才是根本

其实不仅仅是数学公式了,很多程序中的算法也是这样,都是需要推导的,不然只能用而不能深究,就更不提创新了。不扯了,进入正题:


方便有需求的人,推导过程的源码贴一下:

$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$

要求x,那我们先两边同时除以a:

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

把和x没关系的常数移到等号另一边:

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

看到左边就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 我们来凑一下:

$x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

因为:$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 所以可以转换成:

$(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

把右边化简一下:

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

去左边平方(右边开根号):

$x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

把左边的常数移过去:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

1.2.命题相关

命题中学阶段就接触了,我们来先说说命题可以判断真假的语句叫做命题

比如: 小明是个男的,这个不管对错肯定有个确定的答案

再比如: 小明是活泼好学的孩子,这个就不一定了,公说公有理婆说婆有理,这种结果模糊不确定的就不是命题


充分条件和必要条件

这个时间长了容易混淆,举个例子: 小明是人类人类是小明

通过小明肯定能推出他是个人,这个就叫必要条件

人就一定是小明吗?不一定吧 ==> 这个就是充分条件

如果P成立,Q就成立是真命题时,就可以表示为: P=>Q (由P肯定能推导出Q)(eg: 小明=>人):

  1. P是Q的必要条件
  2. Q是P的充分条件

充分必要条件

如果 P=>Q,而且 Q=>P,那么:

  1. P是Q的充分必要条件
  2. Q是P的充分必要条件

表示为: P<=>Q


1.3.集合系列

集合应该是刚上高中那会教的内容,我们来看看:

集合 (Python里面用 set 来表示):某种特定性质的对象,汇总成的集体( 人以类聚,物以群分) 这些对象称为该集合的元素

集合中的元素有三个特征:

  1. 确定性(集合中的元素必须是确定的)
  2. 互异性(集合中的元素互不相同)eg:集合A={1,a},则a不能等于1)
  3. 无序性(集合中的元素没有先后之分)eg:集合{3,4,5}和{3,5,4}是同一个集合

表示方式,eg:10以内的偶数:

  1. X={0,2,4,6,8}
  2. X={2n|n=0,1,2,3,4}

当x是X集合里面的元素时,可以表示为: x∈X eg: 2∈X

# Python3 Code
X = set([x for x in range(10) if x%2==0])

print(X)
{0, 2, 4, 6, 8}
# 当x是X集合里面的元素时,可以表示为:x ∈ X
# eg:2 ∈ X
2 in X
True

子集 :当一个集合A里面所有元素都属于集合B时,称A是B的子集。即: A⊆B

eg:集合A:{1,2,3} 集合B:{1,2,3,4} ==> A⊆B

如果两个集合A和B的元素完全相同,则称A与B两个集合相等,记为 A=B

集合A:{1,2,3,4} 集合B:{1,2,3,4} ==> A⊆B and B⊆A ==> A=B


真子集 :如果集合A是集合B的子集 A⊆B,并且集合B中至少有一个元素x∉A,那么集合A叫做集合B的真子集

简单讲: 如果A包含于B,且A不等于B,就说集合A是集合B的真子集A有的B全有,B有的A不一定有

如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集。可知任一集合A是自身的子集,空集是任一集合的子集。真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在相等。所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集;所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。

A = set([1,2,3])
B = set([1,2,3,4])

print(A)
print(B)
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
# 子集(判断A是否是B的子集)
A.issubset(B)
True
# 父集(B是否是A的父集)
B.issuperset(A)
True
A = B

A.issubset(B)
True

并集 :由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,读作“A并B”(或“B并A”)并集越并越多,而且没有重复元素

记作 A∪B or B∪A,即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}


交集 :由属于A且属于B的相同元素组成的集合,读作“A交B”(或“B交A”)交集越交越少

记作 A∩B or B∩A,即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}

若A包含B,则 A∩B=B,A∪B=A


差集 :A,B是两个集合,所有x∈A且x∉B的元素构成的集合,叫做集合A减集合B(或集合A与集合B之差)

类似地,对于集合A、B,我们把集合 A-B={x∣x∈A,且x∉B} 叫做A与B的差集( 把B中元素从A中减去


补集 :一般指绝对补集,即一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(S包含于A)大前提),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做子集A在S中的绝对补集。

扩展:在集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:相对补集和绝对补集

set1=set([1,2,5])
set2=set([2,4,6])

print(set1)
print(set2)
{1, 2, 5}
{2, 4, 6}
# 交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B}
set1 & set2
{2}
# 并集 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
set1 | set2
{1, 2, 4, 5, 6}
# 差集 A-B={x∣x∈A,且x∉B}
set1 - set2
{1, 5}
set3=set(list(range(10)))

print(set3)
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
# 【大前提】set2是set3的一个子集(set3包含于set2)
set2.issubset(set3)
True
# 这时候求差集,就等于求补集
set3 - set2
{0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}

1.4.映射系列(映射、像、定义域和值域、满单射、双射、逆映射、线性映射等)

这个系列应该是高一的知识

1.映射与像 :

设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素 x,在集合B中都有唯一的元素 y与之对应,那么就称对应的规则 f 为从集合A到集合B的 映射 一般这样表示: f:A→B。其中, y称为元素 x在映射 f下的 ,记作: y=f(x)

通俗讲:

*把使集合A的元素与集合B的元素相对应的 规则叫做 “集合A到集合B的映射” *

如果从A集合中取元素 x,通过 f得到其对应B集合的元素 y。这个新的元素就叫做:“ x通过映射f形成的像

这个说的还是有点抽象,举个简单的例子:

高中的时候经常做这样的练习: f(x)=2x+1

用映射来解释就是:“映射 f 是使集合B的元素 2x+1 与集合A的元素 x 相对应的规则

再解释就简单了: f(2)

x=2 通过 f 形成的像是 2*2+1

2.值域和定义域:

我们把映像 f产生的值组成一个集合 {f(0)、f(1)、f(2)...},这个集合就叫做“映像 f的值域”。

x值组成的集合 {0、1、2...} 就叫做“映像 f的定义域”。

这个值域的集合往往是集合B的子集:$\lbrace f(x1),f(x2)...f(x_n)\rbrace \subseteq B$

比如说: f(x)=2x+1 定义域A{0、1、2、3},那么求出来的值域是:{1、3、5、7},而B集合是{1、3、5、7、8}

3.满射、单射、双射:

满射:如果值域任何元素都有至少有一个变量与之对应,那这个映射就叫做满射

来个示意图:f(x)=x$^2$

其实老版本的教科书还有一种说法叫做:”当映射f的值域等于集合B时,f为 满射


单射:设f是由集合A到集合B的映射,如果所有x,y∈A,且x≠y,都有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的 单射(函数f被称为是单射时,对每一值域内的y,存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y)

来个图示:(两种情况都是)


双射 (一一映射):既是单射又是满射的映射称为 双射

图示:(偷个懒,拿上面的图片改改)

4.逆映射:

这次先不定义,先看个图:

看完图基本上懂了(映射 g就是映射 f的逆映射),现在来定义一下:

逆映射 :

当f是双射(一一对应的单射)并且映射 f和映射 g满足:

  1. g(f(x))=x
  2. f(g(x))=x

那么映射 g就是映射 f的逆映射,表示方式:$f^{-1}:B\rightarrow A$

5.线性映射

后面说线性回归之类的代码和数学知识时会讲,这边因为也是属于映射内容,所以简单提一下定义:

假设 $x1$ 和 $x2$ 是属于A集合中的任意元素, c 为任意实数, f 为从A到B的映射。

那么映射 f就是从A到B的线性映射

1.5.排列组合

这个应该是高二的时候学的,简单提一下

排列组合

  1. 排列:从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序
  2. 组合:从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序

通俗讲:

如果还抽象的话,我们来看个案例:

小明请小潘和小张一起去食堂吃饭,食堂今天总共有5个菜

1.试问,他们从5个菜中选出3个不同的菜,有几种可能性?

假设有A、B、C、D、E这5个菜,那选出3个有如下组合(不管顺序):

列举

列举

列举

列举

列举

列举

ABC

ABD

ABE

ACD

ACE

ADE

BCD

BCE

BDE

CDE

$\large {C^3_5=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}=10}$

2.试问,选出的这3个菜有几种排放顺序

假设选出的是A、B、C这3个菜,那它的排序有几种可能:

序号

列举

列举

A

ABC

ACB

B

BAC

BCA

C

CAB

CBA

其实无论选择哪3种,他们的排序都是6种,3!=3×2×1=6

简单分析一下:

第一道菜可以在已经选好的菜里面选1个,那就是3种可能

第二道菜可以在剩下的2道菜中选1个,那就是2种可能(第一道刚才选好了,已经算确定的了)

第三道菜不用选了,因为现在只剩下1道了,那就是1种可能

所以有 3×2×1种可能==>3!=6种可能


3.试问,从5个菜中选出3个不同的菜,并按顺序打包带走总共有多少种可能?

排列的个数其实就是: 5选3组合个数×3道菜可能的排序 = 10 × 6 =60

$\large {A^3_5=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{2×1}=60}$

简单分析推导一下:

第一个菜可以在5道菜里面选一个,那就是5种可能

第二道菜可以在剩下的4道菜里面选一个,那就是4种可能

第三道菜可以在剩下的3道菜里面选一个,那就是3种可能

那总共可能性就是:5×4×3=60种可能性,和上面公式计算一样结果


排列、组合、二项式定理公式口诀:

加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。

两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。

排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。

不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。

关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。

1.5.高中函数附录

以前在网上找的资料,你们有更好的可以贴一下(点我查看)

1.6.高中数学公式

以前在网上找的资料,你们有更好的可以贴一下(点我查看)

2.矩阵预告

下次和Numpy一起讲,这样才会~数学不枯燥,代码不空洞

原文发布于微信公众号 - 我为Net狂(dotNetCrazy)

原文发表时间:2018-07-12

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