等差数列与等比数列

数列

按照一定顺序排列着的一列数称为数列

数列中的每一个数叫做这个数列的项

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)

数列的一般形式可以写成

\[a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots, \]

简记为\(\{ a_n\}\)， 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列

按照数列的每一项随序号变化的情况对数列分类：

• 从第\(2\)项起，每一项都不小于它前一项的数列叫做递增数列
• 从第\(2\)项起，每一项都不大于它前一项的数列叫做递减数列
• 各项相等的数列叫做常数列
• 从第\(2\)项起，有些项大于它前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列

等差数列

如果一个数从第\(2\)项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列(arithmetic sequence)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母\(d\)表示

第\(n\)项的值

\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

前\(n\)项的和

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

\[ = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\]

证明：

\[S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \dots + [a_1 + (n - 1)d] \]

\[S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + \dots + [a_n - (n - 1)d]\]

上加下得

\[2S_n = n(a_1 + a_n)\]

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

由于\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

因此

\[S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\]

等比数列

一般的，如果一个数列从第\(2\)项起，每一项与它前一项的比等于同一常数， 那么这个数列叫做等比数列(geometric sequence)，这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)， 公比常用字母\(q\)表示(\(q \not = 0\))

第\(n\)项的值

\(a_n = a_1 q^{n - 1}\)

前\(n\)项的和

\[S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} (q \ne 1)\]

\[ = \frac{a_1 - a_nq}{1 - q} (q \ne 1)\]

证明:

\[S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\]

\[S_n = a_1 + a_1d + a_1 d^2 + \dots + a_1 d^{n - 1}\]

两边同乘\(d\)

\[dS_n = a_1d + a_1d^2 + a_1 d^3 + \dots + a_1 d^n\]

上减下得

\[(1 - d)S_n = a_1 - a_1d^n\]

\[S_n = \frac{a_1 - a_1d^n}{1 - d}\]

由于\[a_n = a_1 d^{n - 1}\]

因此

\[S_n = \frac{a_1 - a_n d}{1 - d}\]