各种博弈问题

(一)巴什博奕(Bash Game):只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。

显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜。

练习题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2149

类似题目:https://leetcode.com/problems/nim-game/

(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。 这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质:

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。 由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。

2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。 事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。

3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了 奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b – bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab – ak个物体,变为奇异局 势( ab – ak , ab – ak+ b – ak);如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余 的数量a – ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k) ,从第二堆里面拿走 b – bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b – a j 即可。

从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。

那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:

ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,…,n 方括号表示取整函数) 奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618…,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。

(三)尼姆博奕(Nimm Game):有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形。

计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看(1,2,3)的按位模2加的结果:

1 =二进制01 2 =二进制10 3 =二进制11 (+) ——————— 0 =二进制00 (注意不进位)

对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。

任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0。

如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设 a <b< c,我们只要将 c 变为 a(+)b,即可,因为有如下的运算结果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。要将c 变为a(+)b,只要从 c中减去 c-(a(+)b)即可。 例1。(14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14,21,27)。

例2。(55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势(55,81,102)。

例3。(29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,45,48)。

例4。我们来实际进行一盘比赛看看: 甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势 乙:(1,8,9)->(1,8,4) 甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势 乙:(1,5,4)->(1,4,4) 甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势 乙:(0,4,4)->(0,4,2) 甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势 乙:(0,2,2)->(0,2,1) 甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势 乙:(0,1,1)->(0,1,0) 甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势 甲胜。

取火柴的游戏 题目1:今有若干堆火柴,两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根, 可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为胜,求必胜的方法。

题目2:今有若干堆火柴,两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根, 可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为负,求必胜的方法。

嘿嘿,这个游戏我早就见识过了。小时候用珠算玩这个游戏:第一档拨一个,第二档拨两个,依次直到第五档拨五个。然后两个人就轮流再把棋子拨下来,谁要是最后一个拨谁就赢。有一次暑假看见两个小孩子在玩这个游戏,我就在想有没有一个定论呢。下面就来试着证明一下吧

先解决第一个问题吧。 定义:若所有火柴数异或为0,则该状态被称为利他态,用字母T表示;否则, 为利己态,用S表示。

[定理1]:对于任何一个S态,总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。 证明: 若有n堆火柴,每堆火柴有A(i)根火柴数,那么既然现在处于S态, c = A(1) xor A(2) xor … xor A(n) > 0;

把c表示成二进制,记它的二进制数的最高位为第p位,则必然存在一个A(t),它二进制的第p位也是1。(否则,若所有的A(i)的第p位都是0,这与c的第p位就也为0矛盾)。

那么我们把x = A(t) xor c,则得到x < A(t).这是因为既然A(t)的第p位与c的第p位同为1,那么x的第p位变为0,而高于p的位并没有改变。所以x < A(t).而

A(1) xor A(2) xor … xor x xor … xor A(n) = A(1) xor A(2) xor … xor A(t) xor c xor … xor A(n) = A(1) xor A(2) xor… xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(n) = 0

这就是说从A(t)堆中取出 A(t) – x 根火柴后状态就会从S态变为T态。证毕

[定理2]:T态,取任何一堆的若干根,都将成为S态。

证明:用反证法试试。 若 c = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) = 0; c’ = A(1) xor A(2) xor … xor A(i’) xor c xor … xor A(n) = 0; 则有 c xor c’ = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(i’) xor c xor … xor A(n) = A(i) xor A(i’) =0 进而推出A(i) = A(i’),这与已知矛盾。所以命题得证。

[定理 3]:S态,只要方法正确,必赢。 最终胜利即由S态转变为T态,任何一个S态,只要把它变为T态,(由定理1,可以把它变成T态。)对方只能把T态转变为S态(定理2)。这样,所有S态向T态的转变都可以有己方控制,对方只能被动地实现由T态转变为S态。故S态必赢。 [定理4]:T态,只要对方法正确,必败。 由定理3易得。 接着来解决第二个问题。 定义:若一堆中仅有1根火柴,则被称为孤单堆。若大于1根,则称为充裕堆。 定义:T态中,若充裕堆的堆数大于等于2,则称为完全利他态,用T2表示;若充裕堆的堆数等于0,则称为部分利他态,用T0表示。 孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位,但充裕堆会影响高位(非最后一位)。一个充裕堆,高位必有一位不为0,则所有根数异或不为0。故不会是T态。

[定理5]:S0态,即仅有奇数个孤单堆,必败。T0态必胜。 证明: S0态,其实就是每次只能取一根。每次第奇数根都由己取,第偶数根都由对 方取,所以最后一根必己取。败。同理, T0态必胜#

[定理6]:S1态,只要方法正确,必胜。 证明: 若此时孤单堆堆数为奇数,把充裕堆取完;否则,取成一根。这样,就变成奇数个孤单堆,由对方取。由定理5,对方必输。己必胜。 #

[定理7]:S2态不可转一次变为T0态。 证明: 充裕堆数不可能一次由2变为0。得证。 #

[定理8]:S2态可一次转变为T2态。 证明: 由定理1,S态可转变为T态,态可一次转变为T态,又由定理6,S2态不可转一次变为T0态,所以转变的T态为T2态。 #

[定理9]:T2态,只能转变为S2态或S1态。 证明: 由定理2,T态必然变为S态。由于充裕堆数不可能一次由2变为0,所以此时的S态不可能为S0态。命题得证。

[定理10]:S2态,只要方法正确,必胜. 证明: 方法如下: 1) S2态,就把它变为T2态。(由定理8) 2) 对方只能T2转变成S2态或S1态(定理9) 若转变为S2, 转向1) 若转变为S1, 这己必胜。(定理5)

[定理11]:T2态必输。 证明:同10。 综上所述,必输态有: T2,S0 必胜态: S2,S1,T0.

两题比较:

第一题的全过程其实如下: S2->T2->S2->T2-> …… ->T2->S1->T0->S0->T0->……->S0->T0(全0) 第二题的全过程其实如下: S2->T2->S2->T2-> …… ->T2->S1->S0->T0->S0->……->S0->T0(全0)

下划线表示胜利一方的取法。 是否发现了他们的惊人相似之处。 我们不难发现(见加黑部分),S1态可以转变为S0态(第二题做法),也可以转变为 T0(第一题做法)。哪一方控制了S1态,他即可以有办法使自己得到最后一根(转变为 T0),也可以使对方得到最后一根(转变为S0)。 所以,抢夺S1是制胜的关键! 为此,始终把T2态让给对方,将使对方处于被动状态,他早晚将把状态变为S1.

推荐HDOJ题目 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1907 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2509 看完上面的结论,就能顺利解决上面2道了

S-Nim http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1536 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1944

博弈算法入门小节 1536 1517 1907 小子最近迷途于博弈之中。。。感触颇深。 为了让大家能够在学习博弈的时候少走弯路,最重要的也是为了加深自己的影响,温故而知新,特发此贴与大家共勉。 学博弈先从概念开始: 特别推荐LCY老师的课件:博弈入门。 下载地址:http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=6875 这个课件个人认为从博弈的基本思想,一直到解博弈的中心算法做了很好的诠释。但是特别要注意的是。课件后面一部分英语写的讲义是重中之重。小子英语很弱,在这困扰很久。现在为大家大概介绍一下。 主要是后继点和SG值的问题: SG值:一个点的SG值就是一个不等于它的后继点的SG的且大于等于零的最小整数。 后继点:也就是按照题目要求的走法(比如取石子可以取的数量,方法)能够走一步达到的那个点。 具体的有关SG值是怎么运用的希望大家自己多想想。 课件后面有一个1536的代码。可以放在后面做做 看到这里推荐大家做几道题:1846(最简单的博弈水题) 1847(求SG值)

有了上面的知识接下来我们来看看组合博弈(n堆石子) 推荐大家看个资料: 博弈-取石子游戏(推荐等级五星级) http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=20&tid=5748 http://hi.baidu.com/netnode/blog/item/30932c2edc7384514fc226ea.html 这里提出了一个奇异状态的问题。看了这篇文章你会发现异或运算在博弈中使用的妙处。当然这里指出的只是组合博弈中一种特殊情况。 王道还是对SG值的求解,但是知道这么一种思路无疑对思维的广度和深度扩展是很有帮助的。 ZZ博弈 http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617 这里介绍了组和博弈的两种大的类型,一种是最后取的是N状态一种是最后取的是P状态,两个状态的解题方法能看懂很有帮助。当然,能够把推导过程理解,吃透无疑是大牛级的做法~小子也佩服的紧~ 1536题推荐做做这题,这题前面提醒大家是一个求SG值的题目,题目前面是对异或运算运用在组合博弈问题中的很好的解释。当然题目本身是有所不同的。因为在这里面对取法有所要求。那么这样就回归到了解决博弈问题的王道算法——求SG值上。 有关运用求SG值的博弈题目有: 1850(也可基于奇异状态异或) 1848(中和的大斐波那契数列的典型求SG值题) 1517(个人认为有点猥琐的题目。。。。在此题上困扰很久。当然搞出来很开心。小子是用比较规矩的求SG值的方法求出来的,但是论坛有人对其推出来了规律,这里佩服一下,大家可以学习一下) 1079(对新手要求较高,因为按传统方法需要比较细致的模拟加对边角状态的考虑,同样有人推出来了公式)

当你全部看完以上的东西。做完以上的题目的话。。。小子恭喜你~你博弈入门了~~~~ 这里告诉大家。博弈很强大。学习要耐心~谢谢!

原文发布于微信公众号 - ACM算法日常(acm-clan)

原文发表时间:2018-06-13

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