当x 和 a很近的时候, 我们由这条线的切线方程,可以得到:
对应的 y,也就是 f(x)大致为:
这个时候,对应的 f(x)的近似值,我们叫做 linear approximation 线性近似 或者 tangent line approximation 切线近似
这个图像为切线的线性函数
我们叫做, linearization of f at a。 也就是 f在a点的线性化
我们知道sinx 在 x趋于0的时候,
这个时候,我们可以用对应的线性近似值去代替
线性近似的背后,是微分的表示。 因为 dx是自变量, 可以是任意实数。 对应 y的微分 dy,可以表示为:
由于对应的 Δ还是有值的, 我们对比一下图像 看一下区别
我们由图可以知道 QS 为 Δy
而切线为PR,所以 RS 为 dy
例子4
f(x) = x^3 + x^2 - 2x +1 对比一下 Δy 和 dy (a) 从 2 到 2.05 (b) 从 2 到 2.01
解答: (a) 我们可以知道
所以,两个值相减后, 可以得到 Δy
对应的 dy:
当x=2, dx = 0.05的时候
Paste_Image.png
**所以,一个是 0.717625,一个是 0.7 **
(b)
所以,两个值相减后, 可以得到 Δy
对应的dy 当x=2, dx = 0.01的时候
**所以,一个是 0.140701,一个是 0.14 **
所以,我们可以发现, 当 dx越小的时候, dy 和 Δy的值 越接近
可以写成
本节 主要理解 横向 dx 和 Δx ,其实是一样的 对于 微分值dy 和 差值Δy, 还是有所区别 我们在对应的 dx 很小的时候, dy 和 Δy 可以近似相等 (dy 和导数切线有关, Δy是真实差值)