优化算法——拟牛顿法之DFP算法

一、牛顿法

    在博文“优化算法——牛顿法(Newton Method)”中介绍了牛顿法的思路，牛顿法具有二阶收敛性，相比较最速下降法，收敛的速度更快。在牛顿法中使用到了函数的二阶导数的信息，对于函数

，其中

表示向量。在牛顿法的求解过程中，首先是将函数

在

处展开，展开式为：

其中，

，表示的是目标函数在

的梯度，是一个向量。

，表示的是目标函数在

处的Hesse矩阵。省略掉最后面的高阶无穷小项，即为：

上式两边对

求导，即为：

    在基本牛顿法中，取得最值的点处的导数值为

，即上式左侧为

。则：

求出其中的

：

从上式中发现，在牛顿法中要求Hesse矩阵是可逆的。  

    当

时，上式为：

此时，是否可以通过

，

，

和

模拟出Hesse矩阵的构造过程？此方法便称为拟牛顿法(QuasiNewton)，上式称为拟牛顿方程。在拟牛顿法中，主要包括DFP拟牛顿法，BFGS拟牛顿法。

二、DFP拟牛顿法

1、DFP拟牛顿法简介

        DFP拟牛顿法也称为DFP校正方法，DFP校正方法是第一个拟牛顿法，是有Davidon最早提出，后经Fletcher和Powell解释和改进，在命名时以三个人名字的首字母命名。

对于拟牛顿方程：

化简可得：

令

，可以得到：

在DFP校正方法中，假设：

2、DFP校正方法的推导

    令：

，其中

均为

的向量。

，

。

    则对于拟牛顿方程

可以简化为：

将

代入上式：

将

代入上式：

已知：

为实数，

为

的向量。上式中，参数

和

解的可能性有很多，我们取特殊的情况，假设

，

。则：

代入上式：

令

，

，则：

则最终的DFP校正公式为：

3、DFP拟牛顿法的算法流程

    设

对称正定，

由上述的DFP校正公式确定，那么

对称正定的充要条件是

。

    在博文“优化算法——牛顿法(Newton Method)”中介绍了非精确的线搜索准则：Armijo搜索准则，搜索准则的目的是为了帮助我们确定学习率，还有其他的一些准则，如Wolfe准则以及精确线搜索等。在利用Armijo搜索准则时并不是都满足上述的充要条件，此时可以对DFP校正公式做些许改变：

       DFP拟牛顿法的算法流程如下：

4、求解具体的优化问题

    求解无约束优化问题

其中，

。

python程序实现：

1. function.py#coding:UTF-8 ''' Created on 2015年5月19日 @author: zhaozhiyong ''' from numpy import * #fun def fun(x): return 100 * (x0,0 ** 2 - x1,0) ** 2 + (x0,0 - 1) ** 2 #gfun def gfun(x): result = zeros((2, 1)) result0, 0 = 400 * x0,0 * (x0,0 ** 2 - x1,0) + 2 * (x0,0 - 1) result1, 0 = -200 * (x0,0 ** 2 - x1,0) return result
2. dfp.py#coding:UTF-8 ''' Created on 2015年5月19日 @author: zhaozhiyong ''' from numpy import * from function import * def dfp(fun, gfun, x0): result = [] maxk = 500 rho = 0.55 sigma = 0.4 m = shape(x0)0 Hk = eye(m) k = 0 while (k < maxk): gk = mat(gfun(x0))#计算梯度 dk = -mat(Hk)*gk m = 0 mk = 0 while (m < 20): newf = fun(x0 + rho ** m * dk) oldf = fun(x0) if (newf < oldf + sigma * (rho ** m) * (gk.T * dk)0,0): mk = m break m = m + 1 #DFP校正 x = x0 + rho ** mk * dk sk = x - x0 yk = gfun(x) - gk if (sk.T * yk > 0): Hk = Hk - (Hk * yk * yk.T * Hk) / (yk.T * Hk * yk) + (sk * sk.T) / (sk.T * yk) k = k + 1 x0 = x result.append(fun(x0)) return result
3. testDFP.py#coding:UTF-8 ''' Created on 2015年5月19日 @author: zhaozhiyong ''' from bfgs import * from dfp import dfp import matplotlib.pyplot as plt x0 = mat([-1.2, 1]) result = dfp(fun, gfun, x0) n = len(result) ax = plt.figure().add_subplot(111) x = arange(0, n, 1) y = result ax.plot(x,y) plt.show()

5、实验结果