线性代数--MIT18.06(二十八)
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28. 正定矩阵和最小值
28.1 课程内容：正定矩阵和最小值
在第二十六讲已经讲解了正定矩阵的一些性质，这一讲将给出判断矩阵为正定矩阵的判定条件，同时给出几何解释
首先正定矩阵的基础性质可以作为判断条件，即
- 矩阵的特征值都大于 0
- 矩阵的所有行列式的值都大于 0
- 对矩阵消元之后的主元都大于 0
另外还可以根据
对于任意的
，其值大于 0 ，那么矩阵
是正定矩阵。
看一个二阶矩阵的例子
该矩阵为正定矩阵的条件即为
都大于 0 （特征值判断）
- ，并且 (各阶行列式的值判断)
- ，并且 （所有主元判断）
- 当然还有
, 这是最重要的判断方法。
举个例子，当
为
我们很容发现，使用行列式值的判定条件，当
时行列式的值为 0 ，此时我们称矩阵为半正定矩阵（positive semi-definite matrix），而当
时，矩阵就满足正定矩阵的条件。也就是说
是矩阵为正定矩阵的临界条件。
现在假设
，很容易就发现该矩阵满足正定矩阵的前三个判断条件，即所有特征值，所有阶行列式，消元之后的所有主元都大于0 ，那么从第四条正定矩阵的新定义出发，我们可以得到
我们发现将
看成函数的形式的话，是二阶方程，并且是可以转化为平方和的形式的。当
的时候，该二阶方程的最小值就是原点，对于该二阶方程，在微积分当中，我们来判断最小值，那就是求导数了，一阶导数为 0 并且二阶导数 大于 0 的地方，那就是函数的最小值，而在现在的矩阵形式当中，也就是二阶导数矩阵的行列式的值是大于 0 的。
而如果将该函数在轴上画出来，就是一个开口向上的碗的形状，如果函数值（也就是
的值）为 1 ，那就相当于在该函数图上在 函数值为 1 处做一个横切面，而这个切面就是一个椭圆，其中矩阵的特征值就可以表征该椭圆的轴的长度，而矩阵的特征向量就表征轴的方向！ 由此，我们就将主元，行列式，特征值，特征向量， 以及最小值联系了起来。
那么推广到更高阶的情况，也是同样的道理，比如到三阶矩阵的情形，那么所得的几何体就是在 4 维空间中的一个椭球体，3 个轴的长度与矩阵的 3 个特征值相关，3 个轴的方向和3 个特征向量相关。
实际上在二维的情况下，如果是正定矩阵，那么函数图像的几何切面是一个椭圆，如果不是正定矩阵，那么切面的函数图像就是双曲线。
28.2 习题课
2011年判断矩阵为正定矩阵的条件习题课
（http://open.163.com/movie/2016/4/G/V/MBKJ0DQ52_MBQF4FBGV.html）
对于下列矩阵
,判断当
满足什么条件时，其为正定矩阵，何时为半正定矩阵。
解答
我们分别从各阶余子式的行列式的值 ，主元 ，
三种方法来求解该问题。
- 各阶行列式都大于 0
首先是 1 阶行列式就是 2, 2 阶行列式为
3阶行列式即为
如果
为正定矩阵，则需要各阶行列式的值都大于 0 ，即
, 而当行列式的值为 0 时，也就是正定矩阵的临界状态，即
时，矩阵
为半正定矩阵。
- 消元法判断主元
同样得到当
时，矩阵为半正定矩阵，当
时，矩阵为正定矩阵
- 正定矩阵新定义的方法
平方项的系数就是主元，因此结论和前两种方式的结论是一致的。