线性代数--MIT18.06(二十一)

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21. 特征值和特征向量

21.1 课程内容：特征值和特征向量

在介绍行列式的时候，我们说行列式是为了特征值和特征向量，现在就来说明下什么是特征值，什么是特征向量。

在讲解投影的时候我们知道，当

就在列空间之中的时候，那么对其投影

，也就是说投影就是它本身，或者我们也可以从函数的角度去考虑，对于

做了

的变换操作之后，它的方向性不变。特征值就是用来表征这样的“方向性” 。

定义

, 其中

为特征值，是一个标量，

为特征向量。意义就是特征向量，在被

作用之后与自己依然处于同一个空间（列空间），

与

是平行的关系。

以投影矩阵为例，对于所有处于列空间的

而言，

,此时，特征值

; 当全部处于左零空间中时，

, 特征值

,也就是说当矩阵为奇异矩阵的时候，特征值为 0 。

对于置换矩阵，我们知道它们是单位阵行交换之后得到的矩阵，以

为例 ， 为了使得

与

在一个方向上，可以得到

, 还可以在相反方向上（还是平行的关系），那么

,对应的他们的特征值分别为 1 和 -1 。

在之前的某一章节我们有提到过迹（trace） 等于矩阵对角线元素的和，这里同样引出特征值的性质

• 所有特征值的和等于矩阵的迹

阶矩阵就会有

个特征值（可能相同也可能不同）

那么和我们之前的几个重要等式

一样 , 我们也希望有系统的方法求解

, 做个简单变换即可

这样，我们就可以使用

的方法求解了。还是以

为例，我们求解其特征值和特征向量。

得到

, 特征向量为

。

那么当

求解特征值和特征向量可以得到

得到

, 特征向量为

。

可以发现特征值就是增加了对角线元素的增量，而特征向量依然不变。也就是说，新的矩阵

只是对原矩阵做了平移。

但是这样的平移并一定就会得到我们现在得到的结果，当不是按照单位阵来平移的时候，实际上特征向量就不一定是不变的。

再介绍一个例子，

求解可以发现特征值为

。产生了复数！并且我们只能找到一个特征向量

。

综合上述例子，给出一些简单的结论：

与

不一定有同样的特征向量，除非

为 单位阵

• 当矩阵是对称的，或者是比较接近对称的情况，那么特征值总是为正的
• 当矩阵是不对称的，那么特征值将会得到复数

21.2 习题课

2011年特征值和特征向量习题课

（http://open.163.com/movie/2016/4/1/V/MBKJ0DQ52_MBPD3UV1V.html）

已知可逆矩阵

求解

的特征值和特征向量

根据题意我们知道

,两边都左乘

即得到

，也就是说

与

的特征向量相同，而特征值是其特征值的平方。

对于

，右乘

的特征向量进行尝试后发现

它的特征向量还是和

的相同，而特征值是

的特征值的倒数减一。

由此，我们直接求解

的特征值和特征向量。

故

,求解对应特征向量

最终得到如下结果：