Romantic HDU - 2669（扩欧模板题）

_DIY

发布于 2019-09-11 17:28:46

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发布于 2019-09-11 17:28:46

扩展欧几里得模板

扩展欧几里德算法——找出一对整数(x,y)，使得ax+by = gcd(a,b)。注意，这里的x和y不一定是正数，也可能是负数或者0。例如， gcd(6,15)=3，6*3-15*1=3，其中x=3， y=-1。这个方程还有其他解，如x=-2， y=1。

void gcd(int a, int b, int& d, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else 
    {
        gcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

用数学归纳法并不难证明该算法的正确性，此处略去。注意在递归调用时， x和y的顺序变了，而边界也是不难得出的：gcd(a,0)=1⋅a-0*0=a。这样，唯一需要记忆的是y-=x*(a/b)，哪怕暂时不懂得其中的原因也不要紧。上面求出了ax+by=gcd(a,b)的一组解(x1,y1)，那么其他解呢？任取另外一组解(x2,y2)，则ax1+by1=ax2+by2（它们都等于gcd(a,b)），变形得a(x1-x2)=b(y2-y1)。假设gcd(a,b)=g，方程左右两边同时除以g，得a'(x1-x2)=b' (y2-y1)，其中a'=a/g， b'=b/g。注意，此时a'和b'互素，因此x1-x2一定是b'的整数倍。设它为kb'，计算得y2-y1=ka'。注意，上面的推导过程并没有用到“ax+by的右边是什么”，因此得出如下结论。即：设a, b, c为任意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0)，则它的任意整数解都可以写成(x0+kb', y0-ka')，其中a'=a/gcd(a,b)， b'=b/gcd(a,b)， k取任意整数。

以上内容均参考自刘汝佳的《算法竞赛入门经典》

题目代码及讲解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
void gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        gcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    //freopen("output.txt", "w", stdout);
    LL a, b;
    LL x, y;
    while(cin >> a >> b)
    {
        LL x, y, d;
        gcd(a, b, d, x, y);     //在这里产生一组解
        if(d != 1)      //要满足题目所给的等式，就必须要求a, b的最大公约数为1
            cout << "sorry" << endl;
        else
        {
            while(x < 0)
            {
                x += b / 1;     //它的任意整数解都可以写成(x0+kb', y0-ka')，直到x不为负数为止
                y -= a / 1;  
            }
            cout << x << " " << y << endl;
        }


    }
}

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原始发表：2019-08-12 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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