动画 | 什么是2-3树？

我脱下短袖

发布于 2020-01-02 11:37:24

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发布于 2020-01-02 11:37:24

我们回忆一下AVL树，它在插入和删除节点时，总要保证任意节点左右子树的高度差不超过1。正是因为有这样的限制，插入一个节点和删除一个节点都有可能调整多个节点的不平衡状态。频繁的左旋转和右旋转操作一定会影响整个AVL树的性能，除非是平衡与不平衡变化很少的情况下，否则AVL树所带来的搜索性能提升不足以弥补平衡树所带来的性能损耗。

那有没有绝对平衡的一种树呢？没有高度差也不会有平衡因子，没有平衡因子就不会调整旋转操作。2-3树正是一种绝对平衡的树，任意节点到它所有的叶子节点的深度都是相等的。

2-3树的数字代表一个节点有2到3个子树。它也满足二分搜索树的基本性质，但它不属于二分搜索树。

2-3树定义

一颗2-3树或为一颗空树，或有以下节点组成：

2-节点，含有一个元素和两个子树（左右子树），左子树所有元素的值均小于它父节点，右子树所有元素的值均大于它父节点；

3-节点，还有两个元素和三个子树（左中右子树），左子树所有元素的值均小于它父节点，中子树所有元素的值都位于父节点两个元素之间，右子树所有元素的值均大于它父节点；

2-3树查找元素

2-3树的查找类似二分搜索树的查找，根据元素的大小来决定查找的方向。要判断一个元素是否存在，我们先将待查找元素和根节点比较，如果它和其中任意一个相等，那查找命中；否则根据比较的结果来选择查找的方向。

2-3树插入元素

插入元素首先进行查找命中，若查找命中则不予插入此元素，如果需要支持重复的元素则将这个元素对象添加一个属性count。若查找未命中，则在叶子节点中插入这个元素。

空树的插入很简单，创建一个节点即可。如果不是空树，插入的情况分为4种：

1.向2-节点中插入元素；

2.向一颗只含有一个3-节点的树中插入元素；

3.向一个父节点为2-节点的3-节点中插入元素；

4.向一个父节点为3-节点的3-节点中插入元素。

向2-节点中插入元素

如果未命中查找结束于2-节点，直接将2-节点替换为3-节点，并将待插入元素添加到其中。

向一颗只含有一个3-节点的树中插入元素

如果命中查找结束于3-节点，先临时将其成为4-节点，把待插入元素添加到其中，然后将4-节点转化为3个2-节点，中间的节点成为左右节点的父节点。如果之前临时4-节点有父节点，就会变成向一个父节点为2-节点的3-节点中插入元素，中间节点与父节点为2-节点的合并。

向一个父节点为3-节点的3-节点中插入元素

插入元素后一直向上分解临时的4-节点，直到遇到2-节点的父节点变成3-节点不再分解。如果达到树根节点还是4-节点，则进行分解根节点，此时树高+1（只有分解根节点才会增加树高），下面动画2-3树插入会出这个例子。

动画：2-3树插入

2-3树删除元素

2-3树删除元素相对比较复杂，删除元素也和插入元素一样先进行命中查找，查找成功才进行删除操作。删除操作大致分为三种情况：

1.删除元素位于非叶子节点

2.删除元素位于不为2-节点的叶子节点

3.删除元素位于2-节点的叶子节点

删除元素位于非叶子节点

删除非叶子节点上的元素，使用中序遍历得到后面第一个元素即直接后继元素，然后后继元素直接覆盖到待删除元素，再去删除后继元素（可做递归处理）。删除后再将删除元素的兄弟节点合并到父节点，父结点上的兄弟节点也合并到父节点的父节点，如果生成4-节点，直接分解。

删除元素位于不为2-节点的叶子节点

这个比较简单，直接删除即可。

删除元素位于2-节点的叶子节点

删除元素位于2-节点的叶子节点的步骤比较复杂，有四种情形：

1.父节点为2-节点，兄弟节点为3-节点；

2.父节点为2-节点，兄弟节点为2-节点；

3.父节点为3-节点；

4.整个树为满二叉树。

父节点为2-节点，兄弟节点为3-节点，删除元素位于2-节点的叶子节点

这种情况下将父节点向下合并，再去删除待删除元素，生成4-节点，有分解3个2-节点，中间的节点成为父节点。如果在Coding情况下，可以将父节点的元素覆盖到待删除元素所在的节点上，然后兄弟邻近的元素覆盖到父元素。

父节点为2-节点，兄弟节点为2-节点，删除元素位于2-节点的叶子节点

这种情况下需要通过中序遍历拿到直接后继元素，将这个后继元素向下合并，不断地向下合并直到合并到待删除元素的兄弟叶子节点。然后父元素覆盖到待删除元素所在的节点，兄弟节点邻近的元素覆盖到父元素。

父节点为3-节点，删除元素位于2-节点的叶子节点

元素11通过中序遍历得到后面第一个元素即直接后继元素，后继元素目的是为了替换待删除元素。拿到后继元素后，也一样向下合并，再去删除待删除元素，如果这个节点是4-节点时就去分解成3个2-节点，中间的节点与父节点合并。如果待删除元素位于最后一个节点的话（最下边最右边处），就采取父节点中与待删除元素邻近的元素。