用Python学数学之Sympy代数符

在我们初、高中和大学近10年的学习时间里，数学一直占据着非常大的分量，但是回忆过去可以发现，我们把大量的时间都花在反复解题、不断运算上，计算方法、运算技巧、笔算能力以及数学公式的记忆仿佛成了我们学习数学的全部。这些记忆和技巧没几年就忘掉了，但很多人甚至还记得那份阴影；笔算与解题在AI、图形图像、数据分析等上被软件所取代。那我们学生时代的数学还剩下什么呢？

计算器与数学

说起数学计算器，我们常见的是加减乘除四则运算，有了它，我们就可以摆脱笔算和心算的痛苦。四位数以上的加减乘除在数学的原理上其实并不难，但是如果不借助于计算器，光依赖我们的运算能力（笔算和心算），不仅运算的准确度大打折扣，而且还会让我们对数学的运用停留在一个非常浅的层次。

尽管四则运算如此简单，但是多位数运算的心算却在我们生活中被归为天才般的能力。但是数学的应用应该生活化、普及化，而不是只属于天才的专利，计算器改变了这一切，这就是计算器的魅力。 计算器还可以做科学运算，比如乘方、开方、指数、对数、三角函数等，尽管这些知识在我们初中时代，通过纸笔也是能运算起来的，但是也仅限于一些极其常用和简单的运算，一旦复杂起来，通过纸笔来运算就是一项复杂的工程了。所以说，计算器可以让我们离数学的应用更近。

但是我们学生时代所学的数学可远不止这些，尤其是高等数学（微积分）、线性代数、概率统计等数学知识应用非常广泛（我也是后来才知道），但是由于他们的运算非常复杂，我们即便掌握了这些知识，想要应用它又谈何容易，那有没有微积分、线性代数、概率统计等的计算器呢？

答案是有的，它们就是计算机代数系统Computer Algebra System，简称CAS，Python的Sympy库也支持带有数学符号的微积分、线性代数等进行运算。

有了计算器，我们才能真正脱离数学复杂的解题本身，把精力花在对数学原理和应用的学习上，而这才是（在工作方面）数学学习的意义。

计算机代数系统

Sympy可以实现数学符号的运算，用它来进行数学表达式的符号推导和验算，处理带有数学符号的导数、极限、微积分、方程组、矩阵等，就像科学计算器一样简单，类似于计算机代数系统CAS，虽然CAS通常是可视化软件，但是维基百科上也把Sympy归为CAS。

几大知名的数学软件比如Mathematica、Maxima、Matlab(需Symbolic Math Toolbox)、Maple等都可以做符号运算，在上篇文章中我们已经拿Python和R、Matlab对比了，显然Python在指定场景下确实优势非常明显，于是我又调研了一下Sympy与Mathematica的比较，在输入公式以及生成图表方面，Sympy确实不行（这一点Python有其他库来弥补），Mathematica能够做什么，Sympy基本也能做什么。

所以说Python在专业数学（数学、数据科学等）领域，由于其拥有非常多而且强大的第三方库，构成了一个极其完善的生态链，即使是面对世界上最为强势最为硬核的软件也是丝毫不虚的。

本专栏用Python学数学的下一期也会介绍一些非常实用的数学工具和数学教材资源，让数学的学习更简单更生动。

Sympy的符号运算

如果之前是学数学相关专业了解计算机代数系统CAS，就会对数学符号的运算比较熟悉，而如果之前是程序员，可能会有点不太明白，下面我们就来了解一下。

Sympy与Math函数的区别

我们先来看一下Sympy库和Python内置的Math函数对数值计算的处理有什么不同。为了让代码可执行，下面的代码都是基于Python3的完整代码。

import sympy,math
print(math.sqrt(8))
print(sympy.sqrt(8))

执行之后，结果显示为：

2.8284271247461903
2*sqrt(2)

math模块是直接求解出一个浮点值，而Sympy则是用数学符号表示出结果，结合LaTex的语法就可以得出我们在课本里最熟悉的的：$2\sqrt{2}$。

数学符号与表达式

我们要对数学方程组、微积分等进行运算时，就会遇到变量比如x,y,z,f等的问题，也会遇到求导、积分等代数符号表达式，而Sympy就可以保留变量，计算有代数符号的表达式的。

from sympy import *
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
k, m, n = symbols('k m n')
print(3*x+y**3)

输出的结果为：3*x + y**3，转化为LaTex表示法之后结果为$3x+y^3$，输出的结果就带有x和y变量。Symbol()函数定义单个数学符号；symbols()函数定义多个数学符号。

折叠与展开表达式

factor()函数可以折叠表达式，而expand()函数可以展开表达式，比如表达式：$x^4+xy+8x$，折叠之后应该是$x(x^3+y+8)$。我们来看具体的代码：

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=x**4+x*y+8*x
f_expr=factor(expr)
e_expr=expand(f_expr)
print(f_expr)
print(e_expr)

表达式的折叠与展开，对应的数学知识就是因式分解，相关的数学知识在人教版初二的教程里。用Python学习数学专栏的目的就是要Python与初高中、大学的数学学习结合起来，让数学变得更加简单生动。

表达式化简

simplify()函数可以对表达式进行化简。有一些表达式看起来会比较复杂，就拿人教版初二上的一道多项式的乘法为例，简化$(2x)^3(-5xy^2)$。

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=(2*x)**3*(-5*x*y**2)
s_expr=simplify(expr)
print(s_expr)

求解方程组

在人教版的数学教材里，我们初一上会接触一元一次方程组，初一下就会接触二元一次方程、三元一次方程组，在初三上会接触到一元二次方程，使用Sympy的solve()函数就能轻松解题。

解一元一次方程

我们来求解这个一元一次方程组。(题目来源于人教版七年级数学上) $$6 \times x + 6 \times(x-2000)=150000$$

from sympy import *
x = Symbol('x')
print(solve(6*x + 6*(x-2000)-150000,x))

我们需要掌握Python的代码符号和数学符号之间的对应关系,解一元一次方程就非常简单。

解二元一次方程组

我们来看如何求解二元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）

$$ \begin{cases} x+ y =10,\\ 2 \times x+ y=16 \end{cases} $$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
print(solve([x + y-10,2*x+y-16],[x,y]))

很快就可以得出{x: 6, y: 4}，也就是 $$x=6,y=4$$。

解三元一次方程组

我们来看如何解三元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）

$$ \begin{cases} x+y+z=12,\\ x+2y+5z=22,\\ x=4y. \end{cases} $$

执行之后，很快可以得出结果{x: 8, y: 2, z: 2}，也就是 $$x=8,y=2,z=2$$

解一元二次方程组

比如我们来求解人教版九年级一元二次方程组比较经典的一个题目，$ax^2+bx+c=0$.

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
a,b,c=symbols('a b c')
expr=a*x**2 + b*x + c
s_expr=solve( expr, x)
print(s_expr)

执行之后得出的结果为[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)],我们知道根与系数的关系二次方程会有两个解，这里的格式就是一个列表。转为我们常见的数学公式即为： $$\frac{-b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a} 、-\frac{b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a}$$

微积分Calculus

微积分是大学高等数学里非常重要的学习内容，比如求极限、导数、微分、不定积分、定积分等都是可以使用Sympy来运算的。 求极限 Sympy是使用limit(表达式，变量，极限值)函数来求极限的，比如我们要求$\lim \limits_{x \to 0} \frac{sinx(x)}{x}$的值。

from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
expr = sin(x)/x
l_expr=limit(expr, x, 0)
print(l_expr)

执行后即可得到结果为1。

求导

可以使用diff(表达式,变量,求导的次数)函数对表达式求导，比如我们要对$sin(x)e^x$进行$x$求导，以及求导两次，代码如下：

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=sin(x)*exp(x)
diff_expr=diff(expr, x)
diff_expr2=diff(expr,x,2)
print(diff_expr)
print(diff_expr2)

求导一次的结果就是exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)，也就是$e^xsin(x)+e^xcos(x)$；求导两次的结果是2*exp(x)*cos(x)，也就是 $$2e^xcosx$$

求不定积分

Sympy是使用integrate(表达式,变量)来求不定积分的，比如我们要求$\int(e^x\sin{(x)} + e^x\cos{(x)})\,dx$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)
i_expr=integrate(expr,x)
print(i_expr)

执行之后的结果为：exp(x)*sin(x) 转化之后为： $$e^xsin(x)$$

求定积分

Sympy同样是使用integrate()函数来做定积分的求解，只是语法不同：integrate(表达式,（变量,下区间,上区间))，我们来看如果求解 $\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\,dx$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=sin(x**2)
i_expr=integrate(expr, (x, -oo, oo))
print(i_expr)

执行之后的结果为sqrt(2)*sqrt(pi)/2，也就是 $$\frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi}}{2}$$

Sympy能够做的也远不止这些，初高中、大学的数学运算题在Sympy极为丰富的功能里不过只是开胃入门小菜而已。