高等数学——导数的定义和常见导数

导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线，我们想要求出这个曲线在某个点的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为，其中.

当N逼近于M时：

我们令，所以：

此时的结果就是函数在处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为微元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数在点处的邻域内有定义，当自变量在处取得增量(仍然在的邻域内)，相应的函数取得增量。如果在时的极限存在，称为函数在点处可导。它的导数写成

也可以记成，或者。

如果函数在开区间内可导，说明对于任意，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数的导函数，记作。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果。那么，对于某个正数，对于任何正数，都有时，。那么就称为时，的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当时:

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数在点可导的充分必要条件就是，函数在处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是在时存在。即：

我们把极限符号去掉：

这里的a是时的无穷小，我们对上式两边同时乘上，可以得到：

由于和都是无穷小，并且存在，所以也是无穷小。而连续的定义就是当时，也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

它的函数图像长这样：

我们试着来证明：在处不可导。

由于在处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以在处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

1. ，C是常数。
2. ,
3. ，
4. ，
5. ，
6. ，
7. ，

当然我们实际运用当中遇到的当然不只是简单的函数，很多函数往往非常复杂。那么对于这些复杂的函数，我们又应该怎么来计算它们的导数呢？敬请期待我们下一篇的内容。

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