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具体数学-第6课(下降阶乘幂)

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上节课讲到下降阶乘幂和差分运算,这节课继续讲它和差分的各种性质。

性质1

首先在后面章节会证明,

的二项展开形式和普通的

是一样的,这里提一下,暂时用不到。

性质2

接下来给出下降阶乘幂为负数的定义:

性质3

和普通幂

不同,下降阶乘幂有如下性质:

性质4

上一节课说到,定义下降阶乘幂的好处就是为了求差分方便,下降阶乘幂的差分为:

反之,类比不定积分,它的不定和为:

但是这里

,那要是

怎么办呢? 直接运用差分定义可以求出

所以

性质5

在微积分里面,

的导数是它自身。那么什么函数的差分是自身呢? 通过定义可以很容易算出来:

进一步推广可以得到:

所以得到如下一种新的等比数列计算方式:

性质6

结合律和分配律在差分运算里也适用。

性质7

类似分部积分,这里也可以分部来求差分。

这里给出一个新的记号叫做移位运算:

所以就得到了差分的分部运算法则:

对两边求和,又可以得到不定求和的分部运算法则:

这个分部法则非常有用,下面举两个例子来说明一下怎么用。

例1

一道老题,计算:

首先计算

在这里可以令

所以

那么求和式就可以转化为不定求和来算了:

例2

计算

首先计算

这里注意要令

不能倒过来哦,因为

的不定和很难求出来的。所以

所以

无限求和

回顾一下以前我们是怎么计算下面求和式的。

首先两边同时乘2,得到:

解出

那么可不可以用同样的方法计算下面式子呢?

两边同时乘2,得到:

解出

显然不可能,因为这里的

是发散的,所以不能这么求。那么如何用一般的方法来求解呢?

首先我们只考虑正数求和,求解

,其中

是一个无限集合。 那么,如果存在

,使得对任意

,都有

那么我们说这个最小的

就是

的结果。 如果不存在这么一个

,那么这个求和式就是发散的,即结果为正无穷。

一般使用中,对于

,我们可以令

所以

举两个例子,比如

再如:

剩下的问题就是如何求有正有负的和式?

可以考虑的方案就是用不同的配对,将正负组合在一起,从而相消求和。

但是不同的组合方式会得到不同的答案。就比如:

有两种组合方式:

得到了两种不同的结果。

事实上,我们可以将正数和负数分开求和,因为正数求和我们已经解决了,所以我们定义:

其中

所以求和式可以分成两部分分别求和:

最后推广到二重求和:

这里也没啥好细说的,就先了解了解吧。

本文分享自微信公众号 - 算法码上来(GodNLP),作者:godweiyang

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原始发表时间:2019-12-23

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