二叉树的构建及其遍历算法

AI那点小事

发布于 2020-04-20 15:32:11

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发布于 2020-04-20 15:32:11

本篇博客参照了兰亭风雨的博客：http://blog.csdn.net/ns_code/article/details/12977901/

概要

二叉树是一种非常重要的数据结构，很多其他数据机构都是基于二叉树的基础演变过来的。二叉树有先、中、后，层次四种遍历方式，因为树的本身就是用递归定义的，因此采用递归的方法实现三种遍历，不仅代码简洁且容易理解，但其开销也比较大，而若采用非递归方法实现先中后3种遍历，则要用栈来模拟实现（递归也是用栈实现的）。下面先简要介绍先中后三种遍历方式的递归实现，再详细介绍先中后三种遍历方式的非递归实现与层次遍历。

递归先序遍历

先序遍历按照“根节点->左子树->右子树”的顺序进行遍历。代码如下：

    void PreorderTraversal(BinaryTree* T){
            if(T == NULL){
                return;
            }
            cout<<T->data<<" ";                                             //访问根节点并输出 
            T->PreorderTraversal(T->lchild);                                //递归前序遍历左子树 
            T->PreorderTraversal(T->rchild);                                //递归前序遍历右子树
        }

递归中序遍历

中序遍历按照“左子树->根节点->右子树”的顺序进行遍历。代码如下：

void InorderTraversal(BinaryTree* T){
            if(T == NULL){
                return;
            }
            T->InorderTraversal(T->lchild);                             //递归中序遍历左子树 
            cout<<T->data<<" ";                                         //访问根节点并输出 
            T->InorderTraversal(T->rchild);                             //递归中序遍历左子树 
        }

递归后序遍历

后序遍历按照“左子树->右子树->根结点”的顺序进行遍历。代码如下：

void PostorderTraversal(BinaryTree* T){
            if(T == NULL){
                return;
            }
            T->PostorderTraversal(T->lchild);                       //递归后序遍历左子树 
            T->PostorderTraversal(T->rchild);                       //递归后序遍历右子树 
            cout<<T->data<<" ";                                     //访问并打印根节点 
        }

非递归先序遍历

非递归的实现思路如下：对于任一节点P， 1）输出节点P，然后将其入栈，再看P的左孩子是否为空； 2）若P的左孩子不为空，则置P的左孩子为当前节点，重复1）的操作； 3）若P的左孩子为空，则将栈顶节点出栈，但不输出，并将出栈节点的右孩子置为当前节点，看其是否为空； 4）若不为空，则循环至1）操作； 5）如果为空，则继续出栈，但不输出，同时将出栈节点的右孩子置为当前节点，看其是否为空，重复4）和5）操作； 6）直到当前节点P为NULL并且栈空，遍历结束。代码如下：

void PreorderTraversal2(BinaryTree* T){
            stack<BinaryTree*> stack;                                       //初始化栈 
            BinaryTree* binary_tree_curr = T;                               //保存当前结点 
            //当前结点为空跳出循环 
            while(binary_tree_curr || !stack.empty()){
                cout<<binary_tree_curr->data<<" ";                          //打印当前结点 
                stack.push(binary_tree_curr);                               //当前结点入栈 
                binary_tree_curr = binary_tree_curr->lchild;                //访问左子树 
                //当前结点为空为空，当前结点出栈
                //并把右孩子作为当前结点 
                while(!binary_tree_curr && !stack.empty()){                 
                    binary_tree_curr = stack.top();
                    stack.pop();
                    binary_tree_curr = binary_tree_curr->rchild;
                }
            }
        }

非递归中序遍历

非递归的实现思路如下：对于任一节点P， 1）若P的左孩子不为空，则将P入栈并将P的左孩子置为当前节点，然后再对当前节点进行相同的处理； 2）若P的左孩子为空，则输出P节点，而后将P的右孩子置为当前节点，看其是否为空； 3）若不为空，则重复1）和2）的操作； 4）若为空，则执行出栈操作，输出栈顶节点，并将出栈的节点的右孩子置为当前节点，看起是否为空，重复3）和4）的操作； 5）直到当前节点P为NULL并且栈为空，则遍历结束。代码如下：

void InorderTraversal2(BinaryTree* T){
            stack<BinaryTree*> stack;                                   //初始化栈 
            BinaryTree* binary_tree_curr = T;                           //保存当前结点 
            while(binary_tree_curr || !stack.empty()){
                if(binary_tree_curr->lchild){                           //左孩子非空
                    stack.push(binary_tree_curr);                       //当前结点入栈 
                    binary_tree_curr = binary_tree_curr->lchild;        //遍历左子树 
                }else{
                    //左孩子为空，则打印当前结点遍历右子树 
                    cout<<binary_tree_curr->data<<" ";                  
                    binary_tree_curr = binary_tree_curr->rchild;
                    //如果为空，且栈不空，则将栈顶节点出栈，并输出该节点，  
                    //同时将它的右孩子设为当前节点，继续判断，直到当前节点不为空   
                    while(!binary_tree_curr && !stack.empty()){
                        binary_tree_curr = stack.top();
                        cout<<binary_tree_curr->data<<" ";
                        stack.pop();
                        binary_tree_curr = binary_tree_curr->rchild;
                    }
                }
            }
        }

非递归后序遍历

思路如下：对于任一节点P， 1）先将节点P入栈； 2）若P不存在左孩子和右孩子，或者P存在左孩子或右孩子，但左右孩子已经被输出，则可以直接输出节点P，并将其出栈，将出栈节点P标记为上一个输出的节点，再将此时的栈顶结点设为当前节点； 3）若不满足2）中的条件，则将P的右孩子和左孩子依次入栈，当前节点重新置为栈顶结点，之后重复操作2）； 4）直到栈空，遍历结束。代码如下：

    //非递归后序遍历
        void PostorderTraversal2(BinaryTree* T){
            stack<BinaryTree*> stack;
            BinaryTree* binary_tree_curr = T;                   //当前结点 
            BinaryTree* binary_tree_pre = NULL;                // 上一个结点 
            //先将树的根节点入栈
            stack.push(binary_tree_curr);
            //直到栈空时，结束循环  
            while(!stack.empty()){
                binary_tree_curr = stack.top();              //当前节点置为栈顶节点  
                //如果当前节点没有左右孩子，或者有左孩子或有孩子，但已经被访问输出，  
                //则直接输出该节点，将其出栈，将其设为上一个访问的节点  
                if((binary_tree_curr->lchild == NULL && binary_tree_curr->rchild == NULL) ||
                    (binary_tree_curr != NULL && binary_tree_curr->lchild == binary_tree_pre || 
                                                binary_tree_curr->rchild == binary_tree_pre)){
                    cout<<binary_tree_curr->data<<" ";
                    stack.pop();
                    binary_tree_pre = binary_tree_curr; 
                }else{
                    //如果不满足上面两种情况,则将其右孩子左孩子依次入栈  
                    if(binary_tree_curr->rchild != NULL){
                        stack.push(binary_tree_curr->rchild);
                    }
                    if(binary_tree_curr->lchild != NULL){
                        stack.push(binary_tree_curr->lchild);
                    } 
                }
            }
        }

层次遍历

层次遍历是指按照从从上到下，从左到右的顺序对二叉树的每一层进行遍历。思路如下：对于任何结点P 1）首先将其入队，判断左右结点是否为空，如不是依次入队（先做孩子后右孩子） 2）把队列头元素出队，打印结点 3）重复1），2）两个步骤直至队列为空代码如下：

        //层次遍历
        void LevelOrderTraversal(BinaryTree* T){
            queue<BinaryTree*> queue;
            BinaryTree* cur = T;
            //头结点入队 
            queue.push(cur);
            //队列为空时循环结束 
            while(!queue.empty()){
                //队列头元素出队 
                cur = queue.front();
                queue.pop();
                cout<<cur->data<<" ";
                //左孩子不为空入队 
                if(cur->lchild != NULL){
                    queue.push(cur->lchild);
                }
                //右孩子不为空时入队 
                if(cur->rchild != NULL){
                    queue.push(cur->rchild);
                }
            } 
        }

整体代码：

#include <iostream>
#include <stack> 
#include <queue>
using namespace std;

class BinaryTree{
    private:
        char data;
        BinaryTree* lchild;
        BinaryTree* rchild;
    public: 
        //二叉树的初始化函数 
        BinaryTree* Create_BinaryTree(){
            BinaryTree* T = new BinaryTree;
            char ch;
            cin>>ch;
            if(ch == '#'){                                                  //“#”是结束标志 
                T = NULL;
            }else{
                T->data = ch;                                               //对当前结点初始化 
                T->lchild = Create_BinaryTree();                            //递归构造左子树 
                T->rchild = Create_BinaryTree();                            //递归构造右子树 
            }
            return T;
        }

        //递归前序遍历 
        void PreorderTraversal(BinaryTree* T){
            if(T == NULL){
                return;
            }
            cout<<T->data<<" ";                                             //访问根节点并输出 
            T->PreorderTraversal(T->lchild);                                //递归前序遍历左子树 
            T->PreorderTraversal(T->rchild);                                //递归前序遍历右子树
        }

        //非递归前序遍历 
        void PreorderTraversal2(BinaryTree* T){
            stack<BinaryTree*> stack;                                       //初始化栈 
            BinaryTree* binary_tree_curr = T;                               //保存当前结点 
            //当前结点为空跳出循环 
            while(binary_tree_curr || !stack.empty()){
                cout<<binary_tree_curr->data<<" ";                          //打印当前结点 
                stack.push(binary_tree_curr);                               //当前结点入栈 
                binary_tree_curr = binary_tree_curr->lchild;                //访问左子树 
                //当前结点为空为空，当前结点出栈
                //并把右孩子作为当前结点 
                while(!binary_tree_curr && !stack.empty()){                 
                    binary_tree_curr = stack.top();
                    stack.pop();
                    binary_tree_curr = binary_tree_curr->rchild;
                }
            }
        }

        //递归中序遍历 
        void InorderTraversal(BinaryTree* T){
            if(T == NULL){
                return;
            }
            T->InorderTraversal(T->lchild);                             //递归中序遍历左子树 
            cout<<T->data<<" ";                                         //访问根节点并输出 
            T->InorderTraversal(T->rchild);                             //递归中序遍历左子树 
        }

        //非递归中序遍历
        void InorderTraversal2(BinaryTree* T){
            stack<BinaryTree*> stack;                                   //初始化栈 
            BinaryTree* binary_tree_curr = T;                           //保存当前结点 
            while(binary_tree_curr || !stack.empty()){
                if(binary_tree_curr->lchild){                           //左孩子非空
                    stack.push(binary_tree_curr);                       //当前结点入栈 
                    binary_tree_curr = binary_tree_curr->lchild;        //遍历左子树 
                }else{
                    //左孩子为空，则打印当前结点遍历右子树 
                    cout<<binary_tree_curr->data<<" ";                  
                    binary_tree_curr = binary_tree_curr->rchild;
                    //如果为空，且栈不空，则将栈顶节点出栈，并输出该节点，  
                    //同时将它的右孩子设为当前节点，继续判断，直到当前节点不为空   
                    while(!binary_tree_curr && !stack.empty()){
                        binary_tree_curr = stack.top();
                        cout<<binary_tree_curr->data<<" ";
                        stack.pop();
                        binary_tree_curr = binary_tree_curr->rchild;
                    }
                }
            }
        }

        //递归后序遍历 
        void PostorderTraversal(BinaryTree* T){
            if(T == NULL){
                return;
            }
            T->PostorderTraversal(T->lchild);                       //递归后序遍历左子树 
            T->PostorderTraversal(T->rchild);                       //递归后序遍历右子树 
            cout<<T->data<<" ";                                     //访问并打印根节点 
        }

        //非递归后序遍历
        void PostorderTraversal2(BinaryTree* T){
            stack<BinaryTree*> stack;
            BinaryTree* binary_tree_curr = T;                   //当前结点 
            BinaryTree* binary_tree_pre = NULL;                // 上一个结点 
            //先将树的根节点入栈
            stack.push(binary_tree_curr);
            //直到栈空时，结束循环  
            while(!stack.empty()){
                binary_tree_curr = stack.top();              //当前节点置为栈顶节点  
                //如果当前节点没有左右孩子，或者有左孩子或有孩子，但已经被访问输出，  
                //则直接输出该节点，将其出栈，将其设为上一个访问的节点  
                if((binary_tree_curr->lchild == NULL && binary_tree_curr->rchild == NULL) ||
                    (binary_tree_curr != NULL && binary_tree_curr->lchild == binary_tree_pre || 
                                                binary_tree_curr->rchild == binary_tree_pre)){
                    cout<<binary_tree_curr->data<<" ";
                    stack.pop();
                    binary_tree_pre = binary_tree_curr; 
                }else{
                    //如果不满足上面两种情况,则将其右孩子左孩子依次入栈  
                    if(binary_tree_curr->rchild != NULL){
                        stack.push(binary_tree_curr->rchild);
                    }
                    if(binary_tree_curr->lchild != NULL){
                        stack.push(binary_tree_curr->lchild);
                    } 
                }
            }
        }

        //层次遍历
        void LevelOrderTraversal(BinaryTree* T){
            queue<BinaryTree*> queue;
            BinaryTree* cur = T;
            //头结点入队 
            queue.push(cur);
            //队列为空时循环结束 
            while(!queue.empty()){
                //队列头元素出队 
                cur = queue.front();
                queue.pop();
                cout<<cur->data<<" ";
                //左孩子不为空入队 
                if(cur->lchild != NULL){
                    queue.push(cur->lchild);
                }
                //右孩子不为空时入队 
                if(cur->rchild != NULL){
                    queue.push(cur->rchild);
                }
            } 
        }

        //二叉树的高度
        int getBinaryTreeHeight(BinaryTree* T){
            if(T){
                //递归求左子树高度 
                int lheight = T->getBinaryTreeHeight(T->lchild);
                //递归求右子树高度 
                int rheight = T->getBinaryTreeHeight(T->rchild);
                //树的高度等于左右子树高度的较大者加1
                int height = (lheight>rheight)?lheight:rheight;
                height++;
                return height;  
            }
            return 0; 
        }
};

int main()
{
    cout<<"请初始化二叉树:"<<endl;
    BinaryTree* T;
    T = T->Create_BinaryTree();

    cout<<"前序遍历（递归）："<<endl;
    T->PreorderTraversal(T);
    cout<<endl;
    cout<<"前序遍历（非递归）："<<endl;
    T->PreorderTraversal2(T);
    cout<<endl; 

    cout<<"中序遍历（递归）："<<endl;
    T->InorderTraversal(T);
    cout<<endl;
    cout<<"中序遍历（非递归）："<<endl;
    T->InorderTraversal2(T);
    cout<<endl; 

    cout<<"后序遍历（递归）："<<endl;
    T->PostorderTraversal(T);
    cout<<endl;
    cout<<"后序遍历（非递归）："<<endl;
    T->PostorderTraversal2(T);
    cout<<endl; 

    cout<<"层次遍历："<<endl;
    T->LevelOrderTraversal(T);
    cout<<endl; 

    cout<<"二叉树高度为:" <<endl;
    cout<<T->getBinaryTreeHeight(T)<<endl;

    return 0;
 }

下面的程序结果都是基于如下的二叉树进行的：