漫画：图的 “最短路径” 问题
————— 第二天 —————
如何遍历呢？
第一层，遍历顶点A：
第二层，遍历A的邻接顶点B和C：
第三层，遍历顶点B的邻接顶点D、E，遍历顶点C的邻接顶点F：
第四层，遍历顶点E的邻接顶点G，也就是目标节点：
由此得出，图中顶点A到G的（第一条）最短路径是A-B-E-G：
换句话说，就是寻找从A到G之间，权值之和最小的路径。
————————————
究竟什么是迪杰斯特拉算法？它是如何寻找图中顶点的最短路径呢？
这个算法的本质，是不断刷新起点与其他各个顶点之间的 “距离表”。
让我们来演示一下迪杰斯特拉的详细过程：
第1步，创建距离表。表中的Key是顶点名称，Value是从起点A到对应顶点的已知最短距离。但是，一开始我们并不知道A到其他顶点的最短距离是多少，Value默认是无限大：
第2步，遍历起点A，找到起点A的邻接顶点B和C。从A到B的距离是5，从A到C的距离是2。把这一信息刷新到距离表当中：
第3步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点C。
第4步，遍历顶点C，找到顶点C的邻接顶点D和F（A已经遍历过，不需要考虑）。从C到D的距离是6，所以A到D的距离是2+6=8；从C到F的距离是8，所以从A到F的距离是2+8=10。把这一信息刷新到表中：
接下来重复第3步、第4步所做的操作：
第5步，也就是第3步的重复，从距离表中找到从A出发距离最短的点（C已经遍历过，不需要考虑），也就是顶点B。
第6步，也就是第4步的重复，遍历顶点B，找到顶点B的邻接顶点D和E（A已经遍历过，不需要考虑）。从B到D的距离是1，所以A到D的距离是5+1=6，小于距离表中的8；从B到E的距离是6，所以从A到E的距离是5+6=11。把这一信息刷新到表中：
（在第6步，A到D的距离从8刷新到6，可以看出距离表所发挥的作用。距离表通过迭代刷新，用新路径长度取代旧路径长度，最终可以得到从起点到其他顶点的最短距离）
第7步，从距离表中找到从A出发距离最短的点（B和C不用考虑），也就是顶点D。
第8步，遍历顶点D，找到顶点D的邻接顶点E和F。从D到E的距离是1，所以A到E的距离是6+1=7，小于距离表中的11；从D到F的距离是2，所以从A到F的距离是6+2=8，小于距离表中的10。把这一信息刷新到表中：
第9步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点E。
第10步，遍历顶点E，找到顶点E的邻接顶点G。从E到G的距离是7，所以A到G的距离是7+7=14。把这一信息刷新到表中：
第11步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点F。
第10步，遍历顶点F，找到顶点F的邻接顶点G。从F到G的距离是3，所以A到G的距离是8+3=11，小于距离表中的14。把这一信息刷新到表中：
就这样，除终点以外的全部顶点都已经遍历完毕，距离表中存储的是从起点A到所有顶点的最短距离。显然，从A到G的最短距离是11。（路径：A-B-D-F-G）
按照上面的思路，我们来看一下代码实现：
/** * Dijkstra最短路径算法 */public static Map<Integer, Integer> dijkstra(Graph graph, int startIndex) { //创建距离表，存储从起点到每一个顶点的临时距离 Map<Integer, Integer> distanceMap = new HashMap<Integer,Integer>(); //记录遍历过的顶点 Set<Integer> accessedSet = new HashSet<Integer> (); //图的顶点数量 int size = graph.vertexes.length; //初始化最短路径表，到达每个顶点的路径代价默认为无穷大 for(int i=1; i<size; i++){ distanceMap.put(i, Integer.MAX_VALUE); } //遍历起点，刷新距离表 accessedSet.add(0); List<Edge> edgesFromStart = graph.adj[startIndex]; for(Edge edge : edgesFromStart) { distanceMap.put(edge.index, edge.weight); } //主循环，重复 遍历最短距离顶点和刷新距离表 的操作 for(int i=1; i<size; i++) { //寻找最短距离顶点 int minDistanceFromStart = Integer.MAX_VALUE; int minDistanceIndex = -1; for(int j=1; j<size; j++) { if(!accessedSet.contains(j) && distanceMap.get(j) < minDistanceFromStart) { minDistanceFromStart = distanceMap.get(j); minDistanceIndex = j; } } if(minDistanceIndex == -1){ break; } //遍历顶点，刷新距离表 accessedSet.add(minDistanceIndex); for(Edge edge : graph.adj[minDistanceIndex]) { if(accessedSet.contains(edge.index)){ continue; } int weight = edge.weight; int preDistance = distanceMap.get(edge.index); if(weight != Integer.MAX_VALUE && (minDistanceFromStart+ weight < preDistance)) { distanceMap.put(edge.index, minDistanceFromStart + weight); } } }
return distanceMap;}
public static void main(String[] args) { Graph graph = new Graph(7); initGraph(graph); Map<Integer, Integer> distanceMap = dijkstra(graph, 0); int distance = distanceMap.get(6); System.out.println(distance);}
/** * 图的顶点 */private static class Vertex { String data; Vertex(String data) { this.data = data; }}
/** * 图的边 */private static class Edge { int index; int weight; Edge(int index, int weight) { this.index = index; this.weight = weight; }}
/** * 图 */private static class Graph { private Vertex[] vertexes; private LinkedList<Edge> adj[];
Graph(int size){ //初始化顶点和邻接矩阵 vertexes = new Vertex[size]; adj = new LinkedList[size]; for(int i=0; i<adj.length; i++){ adj[i] = new LinkedList<Edge>(); } }}
private static void initGraph(Graph graph){ graph.vertexes[0] = new Vertex("A"); graph.vertexes[1] = new Vertex("B"); graph.vertexes[2] = new Vertex("C"); graph.vertexes[3] = new Vertex("D"); graph.vertexes[4] = new Vertex("E"); graph.vertexes[5] = new Vertex("F"); graph.vertexes[6] = new Vertex("G");
graph.adj[0].add(new Edge(1, 5)); graph.adj[0].add(new Edge(2, 2)); graph.adj[1].add(new Edge(0, 5)); graph.adj[1].add(new Edge(3, 1)); graph.adj[1].add(new Edge(4, 6)); graph.adj[2].add(new Edge(0, 2)); graph.adj[2].add(new Edge(3, 6)); graph.adj[2].add(new Edge(5, 8)); graph.adj[3].add(new Edge(1, 1)); graph.adj[3].add(new Edge(2, 6)); graph.adj[3].add(new Edge(4, 1)); graph.adj[3].add(new Edge(5, 2)); graph.adj[4].add(new Edge(1, 6)); graph.adj[4].add(new Edge(3, 1)); graph.adj[4].add(new Edge(6, 7)); graph.adj[5].add(new Edge(2, 8)); graph.adj[5].add(new Edge(3, 2)); graph.adj[5].add(new Edge(6, 3)); graph.adj[6].add(new Edge(4, 7)); graph.adj[6].add(new Edge(5, 3));}
—————END—————