从Sine到Heun：Wolfram语言中5个数学和物理学领域的新函数

我们最开始的想法是要把Mathematica建立成为一个可以解决所有从学校层面的代数方程到在现实的科学研究中的复杂问题的不同的数学问题。在过去30年的发展中，我们在系统中实现了超过250个数学函数，而且在最近发布的Wolfram语言12.1版中，我们还增加了更多函数，从最基础的Sin函数，到高阶的Heun函数。

关于我

我叫Tigran Ishkhanyan，是Wolfram Research的算法研发部门的一位特殊函数开发专家，主要研究特殊函数的一般理论问题和进阶方法。我于2018年加入Wolfram，那时我正在法国勃艮第大学和亚美尼亚的物理研究院攻读我的数学物理的PhD课程。

我的PhD项目有两个研究方向：Heun函数的理论提升和其在量子物理，尤其是在两级系统和相对论/非相对论波动方程中量子控制的应用。我在发现Wolfram语言中没有Heun函数的时候，提出想要把这个函数放到Wolfram语言中去。

基础函数

每个高中学生都很熟悉像Exp、Log、Sin等这样的函数，这些都叫做基础函数。我们深入学习过这些函数并且知道它们所有的属性，但是时不时的，我们也可以将一些像ComplexPlot3D这样复杂和全新的东西在Wolfram语言中实现，以便更好地为教育和科研目的服务。

比如，这是大家都很熟悉的Sin的正弦曲线：

这是在复平面下相同函数的绘图：

特殊函数

特殊函数是在基础函数之后另一个数学函数的子集。在过去的几个世纪中，特殊函数广泛应用在数学物理学的范畴。比如，描述夫琅禾费衍射的贝塞尔函数和很多其他现象的函数都属于特殊函数。比如，BesselJ的振动行为让其很适合用来模拟鼓的振动：

一般来说，贝塞尔类型的函数、正交多项式和一些其他的函数都统归为超几何函数：它们都是特殊情况下的不同超几何函数。超几何函数的分类有非常分明的层级，Hypergeometric2F1和HypergeometricPFQ在这个类别的最上层。卡尔高斯是第一个发明对这些函数进行系统分类的人。

从数学的角度来说，超几何函数的一般理论已经发展的很完善了。这些函数在科学研究中有非常重要的影响（可以参见超几何函数的文档页面——https://wolfr.am/Nd0Q4w8p，查看更多应用范例）。

高级特殊函数

还有一组高级特殊函数：Mathieu、spheroidal、Lamé 和 Heun 函数都比Hypergeometric2F1函数要更泛用，更可以用于解决一些更复杂的物理问题，如有周期势场的薛定谔方程：

Wolfram语言中有Mathieu和球体函数，但是我们现在还没有Heun类别的函数（还有在特别情况下使用的Lamé、椭球体或球谐）函数。我们已经加上了缺失的Heun函数部分，这样可以更好地覆盖更多的命名特殊函数，因为大多数这类函数都是Heun函数的特殊或限制形式。文献上越来越多地提到Heun函数，说明Heun函数可能是下一代可以作为未来科学进步发展的框架的特殊函数。（想要看更多参考，请参见Heun项目（https://theheunproject.org/）的参考资料部分。）

发展观点

Wolfram语言中的数学函数有两个主要发展方向：对系统里已有的函数进行文档改进，并不断增加新功能，包括新函数、方法和计算技巧。

在第一个方向中，基于超过5000个范例合集，我们最近对超过250个数学函数进行了标准化处理和大规模改进，现在文档页看起来更像一个小型的架构良好的手册：

在引入新功能的方向上，我们开发了强大的不对称工具比如Asymptotic、AsymptoticDSolveValue和AsymptoticIntegrate。对于12.1版本而言，我们引入了10个新的当前最常用的特殊函数——Heun函数。

我下面会简要看一下数学函数和微分方程之间的关系，这为我的关于Heun和其他特殊函数的方法提供了基础。

微分方程生成的函数

很多经典的基础和特殊函数是微分方程的特定解。实际上，很多函数最开始引入都是为了尝试解决在物理、天文和其他领域中碰到的微分方程。所以，这些函数都被看做是由关联微分方程生成。

比如，指数函数是由简单一阶微分方程生成：

同样的，下面的线性二阶微分方程生成了勒让德多项式：

我很喜欢直接研究微分方程，而不是它们的特定解；这种方法更好，因为微分方程被看做是大型数据结构，所以我们也可以从它们生成的微分方程中得到很多关于数学函数的额外信息。

现在，微分方程的分类与其奇点的结构紧密联系，可以是正则或非正则：在复平面上，这些点是微分方程离散的地方。

对于著名的贝塞尔微分方程：

这定义了贝塞尔函数：

…点 z=0 是一个正则奇点。

我们可能可以使用Frobenius方法在奇点处生成线性微分函数，比如，幂级数方法生成了有系数的无限项展开，遵守由微分方程特别定义的地推关系。强大的AsymptoticDSolveValue函数可以精确给出这些Frobenius解：

在这里，第一个Frobenius解（在奇点处的正则解）称作BesselJ，而第二个解（奇解）则称为BesselY。有趣的是，这在特殊函数的理论中是个很常见的情况。当然这个规则也有例外，但是通常来说，特殊方程都是其生成方程在某个正则奇点处的Frobenius解。对于高斯超几何方程来说，带有三个正则奇点的最常见的微分方程，三个正则奇点分别位于z=0，z=1和z=∞：

这些Frobenius解（正则解）中的其中一个被称为Hypergeometric2F1，是物理学中最著名的函数之一：

自然而然，输出中的第二个解（即，有前因子幂函数的奇解）是高斯超几何方程的第二个Frobenius解。

Hypergeometric2F1函数是一个无限级数，这个级数的系数遵守

形式的二项式递归关系：

而且展开式的第n个系数还有一个精确的闭式表达式。所有超几何函数都有这个共同特点。

但是重要的是，对于高级特殊函数来说（比如Heun函数），它们的Frobenius展开式的系数遵守至少三项的递归关系。这些函数没有闭式通式。我们不知道它们具体的形式却要被强迫使用其生成的多一个奇点的方程式。这个额外的正则奇点造成了解的复杂性。

最后，在简单介绍了特殊函数理论之后，我们现在可以进行到给大家演示Heun函数的步骤了。

Heun函数

Heun的通用微分函数是一个二阶线性常微分方程，有四个正则奇点，在复平面上分别位于z=0，z=1，z=a和z=∞：

通用 Heun 方程是高斯超几何方程的一个概括，其在z=a（复数）处有一个额外的正则奇点，所以这个方程是超几何方程的一个直接概括，只多了一个正则奇点。这个方程式最初是于1889年由 Karl Heun，一位德国数学家，写出的。

仅仅只在《数学函数的数字图书馆》（https://dlmf.nist.gov/）的一个章节，加上在不同平台发布过的大概300篇文章中提到过这些通用特殊方程。Heun函数的理论并没有好好被研究，而且很多重要的问题还未解决，需要更多的研究。

通用Heun方程有六个参数，其中四个（α、β、γ、δ）是不同奇点处Frobenius解的特征指数：

参数a代表第三个正则奇点，而参数q——指的是辅助或谱参数——是一个在超几何函数中没有但是及其重要的参数。

就像超几何方程一样，常规Heun方程在某个正则奇原点的正则Frobenius解称为HeunG。其在原点的值为1，且在复平面 z 中从1到∞ 和 a 到 DirectedInfinity[a]有枝切线不连续。

下例为参数q在一个范围内取值的情况下，Heun函数的绘图：

HeunG简化为下列参数组的Hypergeometric2F1：

在这里，一个细微但却很重要的点是，尽管不知道Heun函数的闭式，不同的微分方程还是有可能会显示出不同的函数特点。比如，HeunG函数的变换函数组总共有192个成员（是通用Heun方程的192个不同的局部解，由单个HeunG函数写出）。

不同于超几何函数的导数是有偏移参数的超几何函数，Heun函数的导数是一类更复杂的解决更复杂微分方程的特殊函数。这些z导数在12.1版本中被当作分开的函数进行使用。HeunG的导数是HeunGPrime：

这对函数可被用于计算HeunG的更高阶导数，使用微分方程可消除高于一阶的导数：

另一个特点是，Heun函数的不定积分不能用基础或其他特殊函数表示：

就像Hypergeometric2F1函数一样，在通用Heun方程中当一个或多个正则奇点合并时，HeunG有合流情形，生成有不同结构奇点的方程。我们回忆一下，Hypergeometric2F1有一个汇总情形，即Hypergeometric1F1函数。HeunG有四个合流变形式，分别是HeunC、HeunD、HeunB、HeunT，分别用于求解单变量、双变量、二元合流、三元合流的Heun方程。

HeunC的其中一项非常重要的地方在于，它可以对MathieuC和MathieuS函数，包括其他像贝塞尔和Hypergeometric2F1函数进行推广：

一个值得注意的情况是，HeunC可以在不规定参数xλ的情况下求解通式形式的广义椭球方程：

HeunD是双合流Heun方程在原点z=1处的标准级数解：

HeunB函数可解二元合流Heun方程：

其在z=0周围有下述近似：

这是近似的绘图：

HeunB非常有用，因为经典物理和量子物理的不同问题都可以用这个函数求解。比如，所有双倍非谐波振荡势能（或者，换个说法，至多六阶多项式形式的任意势）：

可以用HeunB函数来解决：

…而可正态化边界状态的问题依旧没有解决。

最后一个合流Heun函数，是HeunT函数，可以被看做艾里函数的泛化，可用于解决三元合流Heun方程：

HeunT可以解决经典非谐波振荡问题（或者叫四次势）：

我们可以用HeunT函数模拟振荡的动态：

可以很惊讶地发现（或者没有？），Heun函数的各个主要功能都在各自的领域互相独立地发挥着自己再科学应用中的重要作用。

Wolfram语言也有MeijerG超级函数，有一个强大的工具组和广泛的功能：

但是，特殊函数的MeijerG代表式局限在超几何类别函数，并不适用于Heun的情况（还有Mathieu和椭球情况）。

Heun函数还有很多其他有趣的范例和应用，这些都被记录在文档页面中了（https://reference.wolfram.com/language/guide/HeunAndRelatedFunctions.html）。

物理学中的Heun函数

Heun函数有一系列可以用于现代物理的应用，也足够为量子理学、黑洞理论、共形场论等这些领域内未解决的问题提供解决方案。这些函数迅速成功地应用于真实世界的物理问题：根据arXiv的数据显示，在过去的10年中，与Heun函数理论相关的出版论文数量是2010年前的所有出版数量的三倍。

尤其要指出的是，强大的Heun函数可以解决不同量子调控和工程领域中相对论和非相对论波的方程可聚合势的无限类别（参见A. M. Ishkhanyan的最近的论文（https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S000349161730355X?via%3Dihub）可以找到不同的范例）。

Heun函数出现Kerr–de Sitter黑洞理论中，也可能被用于更复杂的几何分析中（R. S. Borissov and P. P. Fiziev 和H. Suzuki, E. Takasugi 和H. Umetsu的论文讨论了这些问题）。

Heun方程类别和Painlevé方程之间的关系帮助了基于Heun方程解的对二维共形场论的分析（参见of B. C. da Cunha 和J. P. Cavalcante 和F. Atai 和E. Langmann的论文）。

前面提到的范例说明，在解决现代物理中完全不同的问题时，Heun函数是一个非常重要且普遍的方法。

结束语

Wolfram 公司一直在寻找新颖的观念和方法，致力于让Wolfram语言变成最知名、普遍、强大和用户友好的语言，可以被科学家应用在现代科学的不同领域。

一直以来，数学工具都在为了新问题和新挑战不断更新。二十世纪的量子力学与超几何类函数紧密联系，但是能用这些特殊函数解决的问题越来越少，亟需一个新的函数类别。这就是为什么在Wolfram语言12.1版本中我们加入了Heun函数，并计划长期提升高等特殊函数的覆盖范围，以迎合未来更复杂的科学挑战。