地下城游戏

你的益达

发布于 2020-08-05 14:45:21

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发布于 2020-08-05 14:45:21

文章被收录于专栏：阿伟的个人博客阿伟的个人博客

问题描述：

一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。

-2(K) -3    3
-5      -10    1
10      30  -5(P)


来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/dungeon-game
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解决方案

该问题与不同路径问题相类似，不过不同路径问题从前往后dp或从后往前dp均可，该问题只能使用从后往前的动态规划。由于我们只关心某个能到达终点其的最小初始体力，并不关心从出发点到达当前位置的体力。

定义一和二维网格同尺寸二维数组记做dp,其中dpi表示从i, j位置出发到达终点最少需要的初始体力点数。

转移方程：

dp[i][j] = max(1, min(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]) - dungeon[i][j])

总是选择往右和往下位置中到达终点最小的初始体力，为了防止体力小于1的情况，当小于1时置为1。

baseline:

dp[M -1][N -1] = \begin{cases}1 \qquad\qquad\qquad dungeon[i][j] >= 0\\\1 - dungeon[M - 1][N - 1] \quad else\end{cases}

dp[M-1][j] = max(1,dp[M-1][j + 1] - dungeon[M-1][j])\\\dp[i][N-1] = max(1,dp[i + 1][N-1] - dungeon[i][N - 1])

代码如下：

class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        if(dungeon.length == 0){
            return 1;
        }
        int M = dungeon.length;
        int N = dungeon[0].length;
        // dp[i][j] 表示从 i,j位置出发到终点的至少拥有的健康点数
        int[][] dp = new int[M][N];
        dp[M - 1][N - 1] = dungeon[M - 1][N - 1] < 0 ? -1 * dungeon[M - 1][N - 1] + 1 : 1;
        for(int i = M - 2; i >= 0; i--){
            dp[i][N - 1] = Math.max(1, dp[i + 1][N - 1] - dungeon[i][N - 1]);
        }
        for(int j = N - 2; j >= 0; j--){
            dp[M - 1][j] = Math.max(1, dp[M - 1][j + 1] - dungeon[M - 1][j]);
        }
        for(int i = M - 2; i >= 0; i--){
            for(int j = N - 2; j >= 0; j--){
                dp[i][j] = Math.max(1, Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

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原始发表：2020-07-12，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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