RSA 加密算法主要公式
RSA 是非对称的加密算法，其中它有一些相关的数学公式。让我们从一道题开始了解 RSA 的数学公式。
计算问题
下面是一道关于 RSA 计算的问题，比较简单，可以从这道题来学习和了解关于 RSA 非对称加密算法的相关知识。当然，具体关于 RSA 加密算法的知识不能仅限于以下问题，应该更全面的了解相关的知识。但是下面的问题已经把其中的重点算法表现出来了。
问题：在 RSA 算法中，取密钥 E = 3，D = 7，则明文 6 的密文是（）。
RSA 算法的相关公式
下面是关于 RSA 的主要数学公式：
n = p * q
ø(n) = (p - 1) * (q - 1)
ed ≡ 1 mod ø(n)
c = m**e mod n
m = c**d mod n
对上面的公式进行一个简单的说明。
- 在整个公钥体制中，e 和 n 是公开的，e 是公钥，n 是两个大素数的乘积。
- m 和 c 分别是明文和密文，这部分在所有的加密算法中都会涉及。
- 其余的 p、q、d 是保密的，p 和 q 是两个大素数，n 就是通过 p 和 q 相乘得到的，d 是私钥。
- e 和 d 的关系满足 e * d ≡ 1 mod ø(n) ，也就是说 d 是 e 的乘法逆元，或者说e * d 和 1 同 ø(n) 求模同余。其中 ≡ 是数论中的“求模同余”的意思，而不是“恒等”的意思。
说明：其中两个 ** 是幂次方的意思，这种写法是 Python 语言中的写法，比如 7 ** 3 就是 7 的 3 次方的意思。
将题中的数带入公式
ed ≡ 1 mod ø(n)
3 * 7 ≡ 1 mod ø(n)
21 ≡ 1 mod ø(n)
ø(n) = 20
ø(n) = 2 * 10 = (p - 1) * (q - 1)
p, q = 3, 11
n = p * q = 3 * 11 = 3
上面的步骤通过 ed 得到了 ø(n)，而 ø(n) 是 20 的情况下，我们可能算出 p - 1 和 q - 1 是 4 和 5，也可能是 2 和 10。
如果 p - 1 和 q - 1 分别是 4 和 5，那么 p 和 q 就是 5 和 6，而 6 不是素数；
如果 p - 1 和 q - 1 分别是 2 和 10，那么 p 和 q 就是 3 和 11，此时两个数都为素数。
得到 p 和 q 以后，就得到了 n。
在得到 n 以后套用加密算法的公式，即可计算 6 的密文。
c = m**e mod n = 6 ** 3 mod 33 = 18
因此 明文 6 的密文是 18。
其中 6 ** 3 是 6 * 6 * 6，通过降幂可以简化为
6 ** 3
3 = 1 * (2 ** 0) + 1 * (2 ** 1)
t0 = 6 mod 33 = 6
t1 = 6 ** 2 mod 33 = 3
t0 * t1 mod n = 6 * 3 mod 33 = 18
可以在 Python 的交互环境中进行验算：
>>> 6 ** 3 % 33
18将密文进行解密验算
除了用 Python 验算以外，用解密算法对密文 18 进行解密，如果得到明文 6，也说明上面的计算是正确的。
m = c ** d mod n = 18 ** 7 mod 33 = 6
其中 18 ** 7 如果使用 7 个 18 相乘来手动计算，是一件麻烦的事情，所以这里使用降幂的方式来进行手动计算，是非常有必要的。
18 ** 7
7 = 1 * (2 ** 0) + 1 * (2 ** 1) + 2 * (2 ** 2)
t0 = 18 mod 33 = 18
t1 = 18 ** 2 mod 33 = 27
t2 = 27 ** 2 mod 33 = 3
t0 * t1 * t2 mod n = 18 * 27 * 3 mod 33 = 6
通过降幂计算，18 ** 7 计算起来只用了 4 步就完成了，数值也没有太大。
因此，密文 18 解密后是 6
在 Python 下进行验算：
>>> 18 ** 7 % 33
6上面就是 RSA 的关键相关的公式，其中虽然 n 是公开的，但是实际 n 是两个非常大的素数相乘得到的（题目中的 3 和 11 这种素数太小了），很难通过 n 分解出两个大的素数，因此保证了其安全性。