数值分析复习（一）线性插值、抛物线插值

线性插值

数学上定义:线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式,其在插值节点上的插值误差为0; 在图片上，我们利用线性插值的算法，可以减少图片的锯齿,模糊图片;

线性插值的计算规则

假设我们已知坐标 (x0, y0) 与 (x1, y1)，要得到 [x0, x1] 区间内某一位置 x 在直线上的值。根据图中所示，我们得到：

由于 x 值已知，所以可以从公式得到 y 的值:

抛物线插值（可推广至高次插值）

设在区间

上给定n+1个点

上的函数值

求次数不超过n的多项式，使得

,由此可得到关于系数

的n+1元线性方程组

此方程组的系数矩阵为范德蒙德矩阵,表示为

由于

互异，故

因此，线性方程组的解存在且唯一，故插值多项式

存在唯一

注：显然直接求解方程组可以得到插值多项式

，但这是求插值多项式最蠢的方法，一般不采用，常用的是拉格朗日插值法或牛顿插值