数值分析复习（一）线性插值、抛物线插值

线性插值

数学上定义:线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式,其在插值节点上的插值误差为0; 在图片上，我们利用线性插值的算法，可以减少图片的锯齿,模糊图片;

线性插值的计算规则

假设我们已知坐标 (x0, y0) 与 (x1, y1)，要得到 [x0, x1] 区间内某一位置 x 在直线上的值。根据图中所示，我们得到：

由于 x 值已知，所以可以从公式得到 y 的值:

抛物线插值（可推广至高次插值）

设在区间

[a,b]

上给定n+1个点

a\leq x_0 < x_1 < \cdots <x_n \leq b

上的函数值

y_i=f(x_i),求次数不超过n的多项式，使得P(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots

求次数不超过n的多项式，使得

P(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots,n

,由此可得到关于系数

a_0,a_1,\cdots,a_n

的n+1元线性方程组

\left\{ \begin{array}{l} a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n=y_0 \\ a_0+a_1x_1+\cdots+a_nx_1^n=y_1\\ \vdots\\ a_0+a_1x_n+\cdots+a_nx_n^n=y_n\\ \end{array} \right.

此方程组的系数矩阵为范德蒙德矩阵,表示为

A=\begin{bmatrix} 1 & x_0 &\cdots&x_0^n \\ 1 & x_1 &\cdots& x_1^n \\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ 1 & x_n & \cdots & x_n^n \end{bmatrix}

由于

x_i(i=0,1,\cdots,n)

互异，故

detA=\prod _{\substack{i,j=0 \\i>j}}^n(x_i-x_j) \neq 0

因此，线性方程组的解存在且唯一，故插值多项式

P(x)

存在唯一

注：显然直接求解方程组可以得到插值多项式

P(x)

，但这是求插值多项式最蠢的方法，一般不采用，常用的是拉格朗日插值法或牛顿插值