[数学] 自由度

自由度：取值不受限制的变量的个数。

如何理解这句简单的话呢？给定一组数据，我们来计算不同的统计量，看看自由度的变化。这些数据分别为 1 2 4 6 8. 5个数。

先来求平均值，这几个数据都可以任意变化成其它数据，而我们仍然可以对它们求平均值，它们的平均值也跟着变化。这时自由度为5，也就是说有几个数据自由度就是几。

1）当我们来计算方差时，我们要先计算平均值，下一步再计算方差，计算完平均值后，我们还可以变更这些数据，但是要保证平均值不变化，如果变化，我们需要重新计算均值。

2）而要保证均值不变，那么原来这几个数字中只有4个数字是可以自由变化的，而另外一个数字只能是=均值×5-其它四个数字之和。

3）这个数字的值由其它数字确定了，自己被逼无奈，只能接受这个值，没有自由变化的可能，这一组数字当中，有一个数字没有了自由，因此自由度要减去1.

凡是计算公式中用到一个均值都要减去1.

大家也可以自己查找方差分析中，几个均方的计算公式以及对应的自由度。

1）总体均方，自由度为全部个体数减去1，因为用了总体均数这一个均值； 2）组间均方，自由度为组数减去1.因为计算的是组之间的均值，而且用了这一个组间均值。 3）误差均方，自由度为全部个体数减去组数，计算均值时用到了全部个体值，同时计算了每个组的均值并且使用了这些均值。

卡方检验的自由度： 1）如果是独立性检验，那么自由度就等于（a-1）*（b-1）,a b表示这两个检验条件的对应的分类数。

比如《问卷与量表数据分析》课程里面的性别和是否购买之间的独立性检验，自由度就等于（2-1）*（2-1）=1。这里可以理解为有两个约束条件，即性别和是否购买这两个变量，这两个变量约束的方向都是自己那一方面的，所以要在自己的类别数目后面减去1，而不是总的类别数减去总的约束条件数目。

2）适合性检验，类别数减去1。此处相当于约束条件只有一个。

卡方检验只有在用笔算查表时使用自由度，软件计算不用担心这个问题，但是最好明白自由度代表着总的变量数目减去约束条件的数目。

总之大家注意到计算自由度时，要考虑限制条件的数目就可以了，这方面的知识虽然在统计中看似不起眼，但是最好还是有所了解。