动态规划：最大子序和

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53. 最大子序和

题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例: 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出: 6 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

思路

这道题之前我们在讲解贪心专题的时候用贪心算法解决过一次，贪心算法：最大子序和。

这次我们用动态规划的思路再来分析一次。

动规五部曲如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。

1. 确定递推公式

dp[i]只有两个方向可以推出来：

• dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
• nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

更具dp[i]的定义，很明显dp[0]因为为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

1. 确定遍历顺序

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

1. 举例推导dp数组

以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！ ，而是dp[6]。

在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。

那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。

所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。

以上动规五部曲分析完毕，完整代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size()); 
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

总结

这道题目用贪心也很巧妙，但有一点绕，需要仔细想一想，如果想回顾一下贪心就看这里吧：贪心算法：最大子序和

动规的解法还是很直接的。

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