Go 语言算法之美—进阶排序

上一篇文章讲述了几种基础的排序算法，可以回顾一下：Go 语言算法之美—基础排序，这几种算法平均情况下的时间复杂度都是 O(n2)，在大规模数据下是非常低效的，所以它们的应用并不多。

这篇文章再来看看几种在实践当中更加常用、也更加复杂一点的排序算法，分别是希尔排序、堆排序、快速排序、归并排序。

1、希尔排序

希尔排序其实是对插入排序的一种优化，回想一下，插入排序的流程是：将数据分为了已排序区间和未排序区间，依次遍历未排序区间的值，将其插入到已排序区间合适的位置。

插入排序的一个最大的缺点是：每次只能移动一位，这样在一些极端的情况下会非常低效；例如数据 2 3 5 7 9 0，如果将 0 移动至元素头部，需要遍历整个数组。

希尔排序的优化点就在于此，它的核心思想是将数据中的元素分为了多个组，每一组分别进行插入排序。

举一个简单的例子：有数据 35 33 42 10 14 19 27 44，首先将数据以其长度的 1/2 （也就是 4）为步长，分为了四个组，分别是 {35,14}、{33,19}、{42,27}、{10,44}。

然后对每一组分别进行插入排序，排序后的结果如下：

然后步长缩小一半，变为 2 ，将数组分为了两个组，分别是 {14,27,35,42}、{19,10,33,44}：

然后再分别对这两个组进行插入排序，结果就是 14 10 27 19 35 33 42 44。

最后，步长再缩小一半，变为 1，将数组分为了一个组（其实就是数组本身），并再进行插入排序，这样希尔排序的流程便完成了。

可以看到，希尔排序将数组分为了多个组，其实是为了尽可能的将数据变得局部有序，代码如下：

func ShellSort(data []int) {
   length := len(data)
   step := length / 2
   for step >= 1 {
      for i := 0; i < length-step; i++ {
         j, k := i+step, data[i+step]
         for ; j > step-1 && data[j-step] > k; j -= step {
            data[j] = data[j-step]
         }
         data[j] = k
      }
      step /= 2
   }
}

希尔排序实际应用并不是很多，它的相关复杂度如下：

2、堆排序

要理解堆排序，必须得先明白什么是二叉堆。二叉堆（以下简称堆）是一种很优雅的数据结构，它是一种特殊的二叉树，满足二叉树的两个特性便可以叫做堆：

• 是一个完全二叉树
• 堆中任意一个节点的值都必须大于等于（或者小于等于）其子树中的所有节点值

对于节点大于等于子树中节点值的堆，叫做大顶堆，反之则叫做小顶堆，以下是两个堆的例子：

从定义和上图中可以看到，堆的一个特点是，堆顶元素就是堆中最大（或最小）的元素。

堆其实可以使用数组来存储，堆顶元素就是数组的第一个元素，并且对于任意下标为 i 的节点，其左子节点是 2 * i + 1，右子节点是 2 * i + 2，有了这个对应关系，堆在数组中的存储就是这样的：

理解了什么是堆之后，接下来进入正题，看看如何基于堆实现排序。堆排序的步骤一般有两个，分别是构造堆和排序，下面依次介绍。

构造堆

构造堆指的是将无序的数组构造成堆（这里使用大顶堆进行讲解），使其符合堆的特征，举一个例子，对于一个完全无序的数组，其原始状态和存储结构如下图：

要使其变成大顶堆，我们可以这样做：从第一个非叶子节点开始，依次将其和子节点的值进行比较，如果小于子节点的值，交换节点顺序，然后再依次比较下去，直到叶子节点。

这样就能够始终满足堆的特性，任意节点的值总是大于其子树中所有节点的值。

排序

堆构建完成之后就是排序了，前面提到了堆有一个很重要的特性，那就是堆顶元素就是最大的元素，我们遍历数组的长度，每次都取堆顶的元素（下标为 0 的元素），将其和数组最后的元素交换位置，然后重新将剩下的数据组织成堆，继续取堆顶的最大元素，以此类推。

将两个步骤结合起来，就是堆排序的完整实现了，代码如下：

// 堆排序
func HeapSort(data []int) {
   // 构建堆
   length := len(data)
   for i := (length - 2) / 2; i >= 0; i-- {
      heapify(data, length, i)
   }

   // 排序
   for length > 0 {
      length--
      data[length], data[0] = data[0], data[length]
      heapify(data, length, 0)
   }
}

func heapify(data []int, size, i int) {
   for {
      max := i
      if 2*i+1 < size && data[2*i+1] > data[max] {
         max = 2*i + 1
      }
      if 2*i+2 < size && data[2*i+2] > data[max] {
         max = 2*i + 2
      }
      if i == max {
         break
      }
      data[i], data[max] = data[max], data[i]
      i = max
   }
}

相关复杂度如下：

归并排序

归并排序基于分治思想。

分治，顾名思义就是分而治之，它是一种解决问题的思路，将原始问题分解为多个相同或相似的子问题，然后将子问题解决，并将子问题的求得的解进行合并，这样原问题就能够得到解决了。

分治思想是很多复杂算法的基础，例如归并排序、快速排序、二分查找等等。

言归正传，再来看归并排序，它的概念理解起来非常简单，如果我们要对一组数据进行排序，我们可以将这个数组分为两个子数组，子数组再进行分组，这样子数组排序之后，将结果合并起来，就能够得到原始数据排序的结果。

下面这张图展示了将一个问题分解为多个子问题的过程：

子问题得到解决之后，需要将结果合并，合并的过程如下图：

代码实现如下：

//归并排序
func MergeSort(data []int) {
   mergeSortHelper(data, 0, len(data)-1)
}

func mergeSortHelper(data []int, lo, hi int) {
   if lo < hi {
      mid := lo + (hi-lo)/2
      mergeSortHelper(data, lo, mid)
      mergeSortHelper(data, mid+1, hi)
      merge(data, lo, mid, hi)
   }
}

func merge(data []int, lo, mid, hi int) {
   temp := make([]int, hi-lo+1)
   i, j, k := lo, mid+1, 0
   for i <= mid && j <= hi {
      if data[i] < data[j] {
         temp[k] = data[i]
         i++
      } else {
         temp[k] = data[j]
         j++
      }
      k++
   }
   copy(temp[k:], data[i:mid+1])
   copy(temp[k:], data[j:hi+1])
   copy(data[lo:hi+1], temp[:])
}

相关复杂度如下：

3、快速排序

快速排序通常叫做“快排”，它应该是应用最广泛的一个排序算法了，很多编程语言内置的排序方法，都或多或少使用到了快速排序，因为快速排序的时间复杂度可以达到 O(nlogn)，并且是原地排序，前面介绍的几种排序算法都无法将这两个优点结合起来。

快排和归并排序类似，都采用了分治思想，但是它的解决思路却和归并排序不太一样。

如果要排序一个数组，我们可以从数组中选择一个数据，做为分区点（pivot），然后将小于分区点的放到分区点的左侧，大于分区点的放到其右侧，然后对于分区点左右两边的数据，继续采用这种分区的方式，直到数组完全有序。

概念读起来可能有点抽象，这里我画了一张图来帮助你理解整个排序的过程：

上图展示了第一次分区的过程，假设要排序的数组的下标是 p ~ r，我们取数组的最后一个元素 5 做为分区点，然后比 5 小的数字 0 3 1 2 移动到 5 的左边，比 5 大的数字 9 6 8 7 移动到 5 的右边。

然后以数字 5 为分界点，其左边的数字（下标为 p ~ q - 1），以及右边的数字（下标为 q + 1 ~ r），分别再进行同样的分区操作，一直分下去，直到数组完全有序，如下图：

下面的动图展示了快速排序的完整过程（注意动图中是选择第一个元素做为分区点的）：

如果使用一个简单的公式来表示快速排序，可以写成这样：

int q = partition(data, p, r);
quick_sort(data, p, r) = quick_sort(data, p, q - 1) + quick_sort(data, q + 1, r);

这里有一个 partition 分区函数，它的作用是选择一个分区点，并且将小于分区点的数据放到其左边，大于分区点的放到其右边，然后返回分区点的下标。

其实这个 partition 分区函数是快速排序实现的关键，那究竟怎么实现这个函数呢？很容易想到的一种方式是：直接遍历一次原数组，依次取出小于和大于分区点的数据，将其各自存放到一个临时数组中，然后再依次拷贝回原数组中，过程如下图：

这样做虽然简单，但是存在一个缺陷，那就是每次分区都会使用额外的存储空间，这会导致快速排序的空间复杂度为 O(n)，那么就不是原地排序了。

所以快速排序使用了另一种方式来实现分区，并且没有借助额外的存储空间，它是怎么实现的呢？我还是画了一张图来帮助你理解：

声明了两个指针 i 和 j，从数组的最开始处向后移动，这里的移动规则有两个：

• 一是如果 j 所在元素大于分区点，那么 j 向后移动一位，i 不变；
• 二是如果 j 所在元素小于分区点，那么交换 i 和 j 所在元素，然后 i 和 将 j 同时向后移动一位。

终止的条件是 j 移动至数组末尾，然后交换分区点和 i 所在的元素，i 就是分区点的下标。

理解了这个过程之后，再来看快速排序的代码实现，就会非常的简单了，下面是一个示例：

func QuickSort(data []int) {
  quickSortHelper(data, 0, len(data)-1)
}

func quickSortHelper(data []int, lo, hi int) {
  if lo < hi {
    mid := partition(data, lo, hi)
    quickSortHelper(data, lo, mid-1)
    quickSortHelper(data, mid+1, hi)
  }
}

func partition(data []int, lo, hi int) int {
  pivot, i, j := data[hi], lo, lo
  for j < hi {
    if data[j] < pivot {
      data[j], data[i] = data[i], data[j]
      i++
    }
    j++
  }
  data[i], data[hi] = data[hi], data[i]
  return i
}

快速排序相关复杂度如下：

文中的全部代码可在我的 Github 上查看：https://github.com/roseduan/Go-Algorithm