各种距离

1. 欧几里得距离

给定空间中两个点 {(x_1,y_1)}，{(x_2,y_2)}；它们之间的欧几里得距离公式为：

\begin{array}{c} \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \end{array}

即两个点之间的直线距离。本质是向量的 2-范数。

2. 曼哈顿距离

给定空间中两个点 {(x_1,y_1)}，{(x_2,y_2)}；它们之间的曼哈顿距离公式为：

\begin{array}{c} |x_1-x_2|+|y_1-y_2| \end{array}

即两个点之间的水平距离绝对值加上垂直距离的绝对值。本质是向量的 1-范数。 在平面上，从原点 OOO 引出八条射线，相邻两射线角度均为 {45^\circ}，则将整个平面划分成 8 块区域，对于每一块区域内的点{B(x_1,y_1)}，{C(x_2,y_2)}满足：

• 若 {|OB| \lt |OC|}，则 {|BC| \lt |OC|}（曼哈顿距离），即连接 OOO、BBB、CCC 三点的最短曼哈顿树为 O→B→C

3. 切比雪夫距离

给定空间中两个点{(x_1,y_1)}，{(x_2,y_2)}；它们之间的切比雪夫距离公式为：

\begin{array}{c} max(|x_1-x_2|, |y_1-y_2|) \end{array}

即两点之间横纵坐标距离绝对值的最大值。本质是向量的\infty范数。

###【曼哈顿距离与切比雪夫距离比较】 如下图所示，矩形{EFGH} 是到原点曼哈顿距离为 2 的点的集合，矩形 {ABCD}是到原点切比雪夫距离为 2 的点的集合。

4. 闵可夫斯基距离

给定空间中两个点{(x_1,y_1)}，{(x_2,y_2)}；它们之间的闵可夫斯基距离公式为：

\begin{array}{c} \sqrt[p]{(x_1-x_2)^p+(y_1-y_2)^p} \end{array}

本质是向量的范数，ppp 取不同的值时对应不同的p-范数。