【概率统计】：Bertrand 悖论

目录
1. 概率论简史
  1.1. 酝酿（16世纪前后）
  1.2. 创立（古典概率论时期）（17-18世纪）
  1.3. 发展（分析概率论）（18世纪末-19世纪末）
    1.3.1 概率的古典定义
    1.3.2 概率的古典定义的缺陷
2. 贝特朗悖论
  2.1. 问题
  2.2. 求解
  2.3. 分析
  2.4. 结论

1. 概率论简史

1.1. 酝酿（16世纪前后）

概率的数学理论是由于研究一些有关机遇现象而产生的，典型的例子是赌博、游戏中的问题。

在这一时期，相当多的数学家对赌博中的问题产生浓厚的兴趣，其中以帕乔利、卡尔达诺为代表。

1.2. 创立（古典概率论时期）（17-18世纪）

从17世纪中期概率论的产生到18世纪末，约一个半世纪的时间里，概率论主要以计算各种古典概率问题为中心发展着，因而将其称为古典概率时期；由于这个时期的概率论主要以组合论为工具，所以也称为组合概率时期。

这一时期的代表人物有：帕斯卡、费尔马、惠更斯、雅各·伯努利、德·莫弗尔、贝叶斯。

1.3. 发展（分析概率论）（18世纪末-19世纪末）

从18世纪末到19世纪末的约一个世纪的时间里，在概率论的研究中引入了母函数与特征函数的概念，并逐渐引进了已经成熟的分析工具，特别是高斯和拉普拉斯等人建立的关于“正态分布”以及“最小二乘法”的理论对于用概率论研究天文观测、大地测量和物理观测的结果起了重大作用，使概率论的发展进入了一个新的时期——分析概率时期。

这一时期代表人物有：高斯 、拉普拉斯 、泊松 、俄国彼得堡学派（切比雪夫 、马尔科夫 、李雅普诺夫 ）等人

1.3.1 概率的古典定义

拉普拉斯在《概率的分析理论》（1812）中，对概率论早期成果的系统总结；首次明确给出了概率的古典定义；在概率论中引入了差分方程、母函数等强有力的分析工具，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡。

概率的古典定义：在某组条件 (S)下进行试验，一共有 N个两两互不相容而等可能的结果 (基本事件）发生，其中 M个是适合事件 A的结果，那么 A的 [古典]概率是 P(A) ＝ M／N . 这个定义实际上是把概率概念化为事件的等可能性，而把计算概率的问题归结为组合问题。虽然直到拉普拉斯才明确给出了这个定义，但可以认为，早在概率论的初创阶段其基本思想已经以某种形式为人们所默认。

从概率论的初创阶段直到19世纪，“等可能性”一直是一个基本而核心的概念，它指的是每个简单事件具有相同的概率。人们对这一性质的认识经历了相当曲折的过程，最终用概率测度概念取代了它。

1.3.2 概率的古典定义的缺陷

概率的古典定义有着不可克服的缺点，首先，“等可能性”并不总是容易判断的；其次，当基本事件的总数不是有限的时，古典定义也无法适用。为了克服第二个缺点，18世纪时引入了概率的几何定义，但这一定义仍然依赖于等可能性，从而不能克服第一个缺点。

拉普拉斯建立的古典概率理论的逻辑基础十分脆弱，对于事件的概率定义及运算都要用到“等可能性”概念，而在一个具体问题上还需要考察有多少等可能的情形。贝特朗悖论的出现表明了直观的、经验性的概率概念的本质缺陷，对建立概率论的严密逻辑基础提出了要求。

1.4. 现代（概率论的公理化）（20世纪）

拉普拉斯 (Laplace ) 所给出的古典先验概率定义虽然在整个19世纪被广泛接受，但是由于他未能进一步探讨这一理论及其应用的基础从而缺少数学的严密性，所以1920年以前的概率论从整体上看是相当混乱的，甚至象庞加莱（Poincare) 和波莱尔 (Emile Borel，1871～1956）这样的大数学家也没能在令人满意的基础上给出相应的严密理论。

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率论的第一个公理化体系。

概率论公理化结构的建立，在很大程度上是以下几个因素影响的结果：

1. 古典概率论中悖论的出现；
2. 现代测度论的建立；
3. 概率论一般成果的积累；
4. 19世纪以来数学中的公理化运动的发展与深化

2. 贝特朗悖论

2.1. 问题

在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形的边长的概率是多少？

2.2. 求解

• 方法1：首先假设弦的一端固定在圆上某一点（比如A），如上图(a)，弦的另一端在圆周上移动。移动端点落在弧BC上的弦，长度均超过圆内接正三角形的边长L，而其余弦的长度都小于L。由于对称性，BC弧长占整个圆周的1/3，所以可得弦长大于L的概率为BC弧长与圆周长之比，即P=1/3。
• 方法2：首先选择圆的一个直径，比如上图(b)中的AD。过该直径上的任何点作直径的垂线，与圆相交形成弦。从图2b中可以看出：当直径上动点的位置在B和C之间时，所得弦的弦长大于正三角形的边长L，动点位置在BC之外的弦长小于L。因为线段BC的长度是整个直径的一半，所以由此可得弦长大于L的概率为P=1/2。
• 方法3：如上图(c)所示，作一个半径只有圆的半径的二分之一的同心圆（称为小圆），称原来的圆为“大圆”。考虑大园上任意弦的中点的位置可知：当中点位于小圆内部时，弦长符合大于L的要求。因为小圆的面积是大圆面积的1/4。所以，概率也为P=1/4。

这导致同一事件有不同的概率，因此为悖论。

2.3. 分析

• 方法1：“随机端点”方法。由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的（Chord's end points are random），则所求概率为1/3 。此时假定端点在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间 Ω1。
• 方法2：“随机半径”方法。由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点(弦与圆心的距离)是等可能的（Distance from the center is random），则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间 Ω2。
• 方法3：“随机中点”方法。弦长被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的（Point of intersection with a perpendicular is random over the circle）,则所求概率为1/4。此时假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间 Ω3。

上述的三种解法可以用下图进行更加直观地表示。如果观测弦的中点分布情况，方法1和方法2的中点分布是不均匀的，方法3的中点分布是均匀的。若观测弦的分布情况，方法2的弦会看起来比较均匀，而方法1和方法3的弦则较不均匀。

可见，上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的，它们都是正确的，贝特朗悖论引起人们的注意，在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。

2.4. 结论

实际上，所谓“悖论”一点也不悖。这只是反映了选择不同的坐标会导致不同的概率分布这一事实。至于哪一个分配是“正确”的，决定于事先确定的模型的如何应用或阐释。

最本质的，是对“等可能性”的概念的不同规定，从而造成了计算结果的不同。实际上，当一个随机试验有无穷多个可能的结果时，有时很难客观地规定“等可能”这一直观概念。

参考：

Principle of Insufficient Reason： https://mathworld.wolfram.com/PrincipleofInsufficientReason.html