【综合笔试题】难度 2.5/5 :「树状数组」与「双树状数组优化」
【综合笔试题】难度 2.5/5 :「树状数组」与「双树状数组优化」
题目描述
这是 LeetCode 上的「1395. 统计作战单位数」，难度为「中等」。
Tag : 「树状数组」、「容斥原理」
n 名士兵站成一排。每个士兵都有一个 独一无二 的评分 rating 。
每
个士兵可以组成一个作战单位，分组规则如下：
- 从队伍中选出下标分别为
i、j、k的
名士兵，他们的评分分别为
、
、
- 作战单位需满足：
或者
，其中
请你返回按上述条件可以组建的作战单位数量。每个士兵都可以是多个作战单位的一部分。
示例 1：
输入：rating = [2,5,3,4,1]
输出：3
解释：我们可以组建三个作战单位 (2,3,4)、(5,4,1)、(5,3,1) 。
示例 2：
输入：rating = [2,1,3]
输出：0
解释：根据题目条件，我们无法组建作战单位。
示例 3：
输入：rating = [1,2,3,4]
输出：4
提示：
rating中的元素都是唯一的
基本分析
为了方便，我们记 rating 为 rs。
题目本质是要我们统计所有满足「递增」或「递减」的三元组。换句话说，对于每个
而言，我们需要统计比其
大或比
小的数的个数。
问题涉及「单点修改（更新数值
的出现次数）」以及「区间查询（查询某段范围内数的个数）」，使用「树状数组」求解较为合适。
树状数组 - 枚举两端
一个朴素的想法是，对于三元组
，我们枚举其两端
和
，根据
和
的大小关系，查询范围
之间合法的数的个数。
在确定左端点
时，我们从
开始「从小到大」枚举右端点
，并将遍历过程中经过的
添加到树状数组进行计数。
处理过程中根据
和
的大小关系进行分情况讨论：
- 当
时，我们需要在范围
中找「大于
」同时「小于
」的数的个数，即 query(b - 1) - query(a)
- 当
时，我们需要在范围
中找「小于
」同时「大于
」的数的个数，即 query(a - 1) - query(b)
一些细节：显然我们需要在枚举每个左端点
时清空树状数组，但注意不能使用诸如 Arrays.fill(tr, 0) 的方式进行清空。
因为在没有离散化的情况下，树状数组的大小为
，即执行 Arrays.fill 操作的复杂度为
，这会导致我们计算量为至少为
，会有 TLE 风险。
因此一个合适做法是：在
范围内枚举完
后（进行的是 +1 计数），再枚举一次
进行一次 -1 的计数进行抵消。
代码：
class Solution {
static int N = (int)1e5 + 10;
static int[] tr = new int[N];
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void update(int x, int v) {
for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
public int numTeams(int[] rs) {
int n = rs.length, ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int a = rs[i];
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
int b = rs[j];
if (a < b) ans += query(b - 1) - query(a);
else ans += query(a - 1) - query(b);
update(b, 1);
}
for (int j = i + 1; j < n; j++) update(rs[j], -1);
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：令
为值域大小，整体复杂度为
- 空间复杂度：
双树状数组优化 - 枚举中点
我们考虑将
的数据范围提升到
该如何做。
上述解法的瓶颈在于我们枚举三元组中的左右端点，复杂度为
，而实际上利用三元组必然递增或递减的特性，我们可以调整为枚举终点
，从而将「枚举点对」调整为「枚举中点」，复杂度为
。
假设当前枚举到的点为
，问题转换为在
有多少比
小/大 的数，在
有多少比
大/小 的数，然后集合「乘法」原理即可知道
作为三元组中点的合法方案数。
统计
左边的比
大/小 的数很好做，只需要在「从小到大」枚举
的过程中，将
添加到树状数组 tr1 即可。
对于统计
右边比
小/大 的数，则需要通过「抵消计数」来做，起始我们先将所有
加入到另外一个树状数组 tr2 中（进行 +1 计数），然后在从前往后处理每个
的时候，在 tr2 中进行 -1 抵消，从而确保我们处理每个
时，tr1 存储左边的数，tr2 存储右边的数。
代码：
class Solution {
static int N = (int)1e5 + 10;
static int[] tr1 = new int[N], tr2 = new int[N];
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void update(int[] tr, int x, int v) {
for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr[i] += v;
}
int query(int[] tr, int x) {
int ans = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
public int numTeams(int[] rs) {
int n = rs.length, ans = 0;
Arrays.fill(tr1, 0);
Arrays.fill(tr2, 0);
for (int i : rs) update(tr2, i, 1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int t = rs[i];
update(tr2, t, -1);
ans += query(tr1, t - 1) * (query(tr2, N - 1) - query(tr2, t));
ans += (query(tr1, N - 1) - query(tr1, t)) * query(tr2, t - 1);
update(tr1, t, 1);
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：令
为值域大小，整体复杂度为
- 空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1395 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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