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社区首页 >专栏 >线性代数行列式方程求解(正交矩阵的行列式)

线性代数行列式方程求解(正交矩阵的行列式)

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全栈程序员站长
发布2022-07-28 20:13:50
8740
发布2022-07-28 20:13:50
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大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。

C++代码实现行列式求值

线性代数行列式求值算的可真是让人CPU疼,但计算机是不累的,所以用一个c++程序帮助你验证求解行列式的值吧。

行列式求值的基本思路

行列式求值主要有以下这几种思路:

  1. 行列式等于它的任意列(或行)各个元素与其对应代数余子式乘积的和。
  2. 直接利用行列式的定义(逆序数)求解
  3. 利用行列式的性质做初等变换在求解:
  • 性质1:互换行列式的两列(或两行),行列式仅改变符号。
  • 性质2:行列式某行(或某列)的 k 倍加到另一行(或列)上,行列式不变。

思路一——行列式展开

首先再次介绍下余子式和代数余子式:

  • 余子式:在 n 阶行列式中,把某个元素所在的行列都去掉之后,剩下的 n-1 阶行列式就叫做该元素的余子式:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
  • 代数余子式: 余子式再乘以-1的i+j次方(ij为行列式的行和列)
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

**我们可以看到行列式展开得到的代数余子式又是一个行列式,这是一个逐步求精的过程。显然可以用递归的方法。 基本算法:

  1. 行列式按第一行展开:
  2. 循环求各个元素与其对应代数余子式乘积的和。
  3. 其中余子式求值递归为行列式求值
  4. 递归终止条件: 行列式阶数为1,返回该数

下面给出两种递归的方法:**

不利用辅助函数的递归:

代码如下:

代码语言:javascript
复制
double cal(double **det,int n)//det-行列式,n:行列式的阶数
{ 
   
	double detVal = 0;//行列式的值
	
	if(n == 1)//递归终止条件 
	return det[0][0]; 
	
	double **tempdet = new double *[n-1];//用来存储余相应的余子式
	 for(int i=0;i<n-1;i++)
	  tempdet[i] = new double[n-1];
	for(int i=0;i<n;i++)//第一重循环,行列式按第一行展开 
	{ 
   
		for(int j=0;j<n-1;j++)
		for(int k=0;k<n-1;k++)
		{ 
   
			if(k <i)
			tempdet[j][k]=det[j+1][k] ;
			else
			tempdet[j][k]=det[j+1][k+1];
		}
		detVal += det[0][i] * pow(-1.0,i) * cal(tempdet,n-1);
	
	 } 
	 return detVal;
} 
辅助函数递归

这一种构建了一个辅助函数,可以更加直观的理解此递归算法

代码语言:javascript
复制
//获得det[i][j]余子式行列式 
vector<vector<double> > getComplementMinor(vector<vector<double> > det,int i,int j) ;
//获得行列式det的值 
double getDetVal(vector<vector<double> > det);
代码语言:javascript
复制
//获得det[i][j]余子式行列式 
vector<vector<double> > getComplementMinor(vector<vector<double> > det,int i,int j) 
{ 
      
     
	int n=det.size(),m=det[0].size();//n为det的行,m为det的列;
	vector<vector<double> > ans(n-1);//保存获得的结果
	for(int k=0;k<n-1;k++)
	for(int l=0;l<n-1;l++)
	{ 
   
		ans[k].push_back(det[k<i?k:k+1][l<j?l:l+1]);
	}
	return ans;
}

double getDetVal(vector<vector<double> > det)
{ 
      
    double ans=0;
	int n=det.size(),m=det[0].size();//n为det的行,m为det的列;
	if(n != m)
    { 
   
    	 cout<<" 您输入的矩阵不是方阵!求么子行列式!";
    	 exit(1);
	} 
	if(det.size() == 1)
	return det[0][0];
	
	for(int i=0;i<m;i++)
	{ 
   
		ans+=det[0][i] * pow(-1,i)*getDetVal(getComplementMinor(det,0,i));
	}
	return ans;
}
奉上一个完整代码,可以直接根据提示计算
代码语言:javascript
复制
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

double cal(double **det,int n)//det-行列式,n:行列式的阶数
{ 
   
	double detVal = 0;//行列式的值
	
	if(n == 1)//递归终止条件 
	return det[0][0]; 
	
	double **tempdet = new double *[n-1];//用来存储余相应的余子式
	 for(int i=0;i<n-1;i++)
	  tempdet[i] = new double[n-1];
	for(int i=0;i<n;i++)//第一重循环,行列式按第一行展开 
	{ 
   
		for(int j=0;j<n-1;j++)
		for(int k=0;k<n-1;k++)
		{ 
   
			if(k <i)
			tempdet[j][k]=det[j+1][k] ;
			else
			tempdet[j][k]=det[j+1][k+1];
		}
		detVal += det[0][i] * pow(-1.0,i) * cal(tempdet,n-1);
	
	 } 
	 return detVal;
} 
int main()
{ 
   
	int n;
	cout<<" 输入行列式的阶数:"; 
	cin >> n;//输入行列式的阶数 
	double **det = new double *[n];//需要动态内存 
	for(int i=0;i<n;i++)
       det[i] = new double[n];
	  

	
	cout<<" 输入行列式:"<<endl;
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
     cin >> det[i][j];
     
     cout<<" 该行列式的值为:"<<cal(det,n);
	
}

思路二——逆序数全排列

思路三——初等变换

调试分析

第一种方法在精度上较好,但计算的阶数有限;后两者运算速度会比较好。但是本人最近较忙,后两者暂未给出(不要打我)- . -。 做题时用第一种方法完全可以帮你解决线性代数的问题。

实现线代其它操作的参考链接

发布者:全栈程序员栈长,转载请注明出处:https://javaforall.cn/128986.html原文链接:https://javaforall.cn

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原始发表:2022年4月1,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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  • C++代码实现行列式求值
  • 行列式求值的基本思路
  • 思路一——行列式展开
    • 不利用辅助函数的递归:
      • 辅助函数递归
        • 奉上一个完整代码,可以直接根据提示计算
        • 思路二——逆序数全排列
        • 思路三——初等变换
        • 调试分析
        • 实现线代其它操作的参考链接
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