LC股票问题学习笔记
原创
121. 买卖股票的最佳时机
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 pricesi 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入：7,1,5,3,6,4
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
解题思路
step1: 枚举状态
这里有3种状态:
- i 表示第几天
- k 表示最大交易次数
- j 表示股票持有状态(1 持有, 0 未持有)
step2: 写出状态转移方程
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i])
= max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
// 可以发现k=1恒成立, 故k是一个无关项, 进一步化简
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
= max(dp[i-1][1], -prices[i])step3: 找到base case
dp[0][0] = 0
dp[0][1] = -prices[i]接下来就是编码环节了
func maxProfit(prices []int) int {
n := len(prices)
dp := make([][2]int, n)
dp[0][0] = 0
dp[0][1] = -prices[0]
for i := 1; i < len(prices); i++ {
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])
}
return dp[n-1][0]
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}122. 买卖股票的最佳时机 II
给你一个整数数组 prices ，其中 pricesi 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。返回 你能获得的 最大 利润 。
示例 1：
输入：prices = 7,1,5,3,6,4
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。总利润为 4 + 3 = 7 。
这里说同一天可以交易, 其实就是k不受限制的情况, 其他部分和上一题目基本一致, 我们写下状态转移方程
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k][0] - prices[i])
// 由于k无穷大, 所以k和状态方程无关
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]) 再看一下base case
dp[0][0]=0
dp[0][1]=-prices[0]所以我们的编码如下:
func maxProfit(prices []int) int {
n:=len(prices)
dp:=make([][2]int, n)
dp[0][0] = 0
dp[0][1] = -prices[0]
for i:=1;i<n;i++{
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])
}
return max(dp[n-1][0], dp[n-1][1])
}
func max(a, b int) int{
if a>b{
return a
}
return b
}123. 买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = 3,3,5,0,0,3,1,4
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3
解题思路
step1: 枚举状态
这里有3种状态:
- i 表示第几天
- k 表示最大交易次数
- j 表示股票持有状态(1 持有, 0 未持有)
step2: 写出状态转移方程
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0]-prices[i])step3: 找到base case
dp[0][k][0] = 0
dp[0][k][1] = -prices[i]接下来就是代码环节了:
func maxProfit(prices []int) int {
n := len(prices)
maxK := 2
dp := make([][][2]int, n)
for i := 0; i < n; i++ {
dp[i] = make([][2]int, maxK+1)
for k := maxK; k > 0; k-- {
if i == 0 {
dp[i][k][0] = 0
dp[i][k][1] = -prices[i]
continue
}
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
}
}
return dp[n-1][maxK][0]
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}188. 买卖股票的最佳时机 IV
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 pricesi 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
解题思路
step1: 枚举状态
这里有3种状态:
- i 表示第几天
- k 表示最大交易次数
- j 表示股票持有状态(1 持有, 0 未持有)
step2: 写出状态转移方程
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0]-prices[i])step3: 找到base case
dp[0][k][0] = 0
dp[0][k][1] = -prices[i]对比上一题就是k由2变成了k, 思路上是一样的, 只不过需要注意如果k比n/2大的话其实就相当于k不限制了
func maxProfit(maxK int, prices []int) int {
n := len(prices)
if n <= 0 {
return 0
}
if maxK > n/2 {
return maxProfitKInf2(prices)
}
dp := make([][][2]int, n)
for i := 0; i < n; i++ {
dp[i] = make([][2]int, maxK+1)
for k := maxK; k > 0; k-- {
if i == 0 {
dp[i][k][0] = 0
dp[i][k][1] = -prices[i]
continue
}
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0]-prices[i])
}
}
return dp[n-1][maxK][0]
}
// maxProfitKInf2 k无限制的场景
func maxProfitKInf2(prices []int) int {
n := len(prices)
dp := make([][2]int, n)
for i := 0; i < len(prices); i++ {
if i == 0 {
// base case 1
dp[i][0] = 0
dp[i][1] = -prices[i]
continue
}
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])
}
return dp[n-1][0]
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
给定一个整数数组prices，其中第 pricesi 表示第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: prices = 1,2,3,0,2
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: 买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出
示例 2:
输入: prices = 1
输出: 0
解题思路
题目和122题上题差不多, 由于加入了冷冻期所以状态转移方程需要做一点变化
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-cooldown-1][0]-prices[i])base case:
if (i - 1 == -1) {
// base case 1
dp[i][0] = 0;
dp[i][1] = -prices[i];
continue;
}
if (i - 2 == -1) {
// base case 2
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
// i - 2 小于 0 时根据状态转移方程推出对应 base case
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
// dp[i][1]
// = max(dp[i-1][1], dp[-1][0] - prices[i])
// = max(dp[i-1][1], 0 - prices[i])
// = max(dp[i-1][1], -prices[i])
continue;
}所以这题的答案是:
func maxProfit(prices []int) int {
n:=len(prices)
dp:=make([][2]int, n)
for i:=0;i<n;i++{
if i==0{
dp[0][0] = 0
dp[0][1] = -prices[0]
continue
}
if i == 1{
dp[1][0] = max(dp[0][0], dp[0][1]+prices[1])
dp[1][1] = max(dp[0][1], -prices[1])
continue
}
dp[i][0] = max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-2][0]-prices[i])
}
return dp[n-1][0]
}
func max(a, b int) int{
if a>b{
return a
}
return b
}714. 买卖股票的最佳时机含手续费
给定一个整数数组 prices，其中 pricesi表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例 1：
输入：prices = 1, 3, 2, 8, 4, 9, fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:
在此处买入 prices0 = 1
在此处卖出 prices3 = 8
在此处买入 prices4 = 4
在此处卖出 prices5 = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8
解题思路
加了个手续费解法和122题差不多, 本质上可以理解为申购/赎回的时候price更高/更低了, 状态方程变化不大
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i] - fee)下面是这题的解答
func maxProfitKInf(prices []int, fee int) int {
n := len(prices)
dp := make([][2]int, n)
for i := 0; i < len(prices); i++ {
if i == 0 {
// base case 1
dp[i][0] = 0
dp[i][1] = -prices[i] - fee
continue
}
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]-fee)
}
return dp[n-1][0]
}
func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}总结
DP问题一向都是会者不难,难者不会的, 这里记录了LC上常见的股票问题, 并给出了一个易于理解的答案, 其中很多题目答案并不是最优的, 还可以做一些状态压缩, 限于篇幅这里暂不介绍. 不过总的来说股票的题目其实都是有一个固定的套路和模版, 一般只需记住这些套路和模版便可.
模版:
func maxProfit2(prices []int, maxK int, coolDown, fee int) int {
n := len(prices)
if n <= 0 {
return 0
}
if maxK > n/2 {
return maxProfitKInf(prices, coolDown, fee)
}
dp := make([][][2]int, n)
for i := 0; i < n; i++ {
dp[i] = make([][2]int, maxK+1)
dp[i][0][1] = math.MinInt32
dp[i][0][0] = 0
}
for i := 0; i < n; i++ {
for k := maxK; k >= 1; k-- {
if i == 0 {
// base case 1
dp[i][k][0] = 0
dp[i][k][1] = -prices[i] - fee
continue
}
if i-coolDown-1 < 0 {
// base case 2
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], -prices[i]-fee)
continue
}
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-coolDown-1][k-1][0]-prices[i]-fee)
}
}
return dp[n-1][maxK][0]
}
func maxProfitKInf(prices []int, coolDown, fee int) int {
n := len(prices)
dp := make([][2]int, n)
for i := 0; i < len(prices); i++ {
if i == 0 {
// base case 1
dp[i][0] = 0
dp[i][1] = -prices[i] - fee
continue
}
if i-coolDown-1 < 0 {
// base case 2
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])
// 别忘了减 fee
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i]-fee)
continue
}
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-coolDown-1][0]-prices[i]-fee)
}
return dp[n-1][0]
}参考
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