数学天才的奇妙问题：红眼睛与蓝眼睛

作者 | 梁唐

大家好，我是梁唐。

前两天写了一篇海盗分金问题，很多同学表示题目很有意思，今天再和大家聊聊另外一道非常有意思的题目，叫做红眼睛与蓝眼睛问题，出题人是著名的数学天才陶哲轩。

题意

题目是这样的，说是在一个遥远的岛上生活着100个岛民，其中5个红眼睛，95个蓝眼睛。岛民们遵循着一个奇怪的信仰：

1. 他们不能照镜子，不能看自己眼睛的颜色。
2. 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
3. 一旦有人知道了自己的眼睛颜色，他就必须在当天夜里自杀

岛民们一直其乐融融生活在一起，直到某一天来了一个外乡人，由于不知道这里的规矩，他在和所有岛民狂欢的时候不小心说了一句话：你们这里有红眼睛的人。

问题是，假设岛上的岛民们每个都足够聪明，这个岛上会发生什么？

解法

其实这题的解法和海盗分金的问题差不多，我们只要缩小问题的规模就可以很容易得到答案。

假设岛上只有一个红眼睛的，那么这个人一定会立即知道自己是红眼，因为他看到的所有人都是蓝眼睛，那么自己必是红眼睛，于是此人会在当晚自杀。

如果岛上有两个红眼睛的，我们假设这两人分别是A和B。A知道B是红眼，B同样知道A，当天A和B都无法确认自己是否是红眼。但到了第二天，A和B发现对方都没有自杀，立即就可以推断出在对方眼中一定看到了另外的红眼。但由于基于自己的视角没有其他人是红眼，所以这个红眼必是自己。于是A和B会在第二天晚上自杀。

如果岛上有三个红眼，A、B、C，三人眼中每人都看到了两个红眼。但由于第二天也没有人自杀，基于同样的逻辑，三人都可以判断出岛上应该有三个红眼，第三个红眼就是自己。所以三人会在第三天晚上自杀。

我们使用数学归纳法很容易证明，当岛上有N个红眼的时候，这些红眼会在第N天晚上自杀。由于所以的红眼都死了，剩下的岛民立刻会知道自己是蓝眼，于是会在第N+1天也自杀。所以N+1天之后，这个岛会变成空岛。

这个问题和解法都不难，我想大家都能看懂。但是这里有一个问题，就是明明岛上每个人都知道有蓝眼睛也有红眼睛，这个外乡人来说的这句话应该是一句废话才对，为什么岛民们会自杀呢？他的这句话究竟提供了一个什么信息呢？

这个问题在知乎上也引起了广泛的讨论，足足有7400+关注者，大家感兴趣可以去观摩一下大V的回答。

共识问题

关于岛民们为什么会自杀这个问题，李永乐老师和知乎大V的答案都是一样的，就是岛上有红眼睛这件事从共有知识变成了公共知识。

这里的共有知识，指的是每个人都知道的知识，而公共知识指的是每个人都知道所有人都知道的知识。

就好像朋友聚会的时候发生了一件尴尬的事，大家都会心照不宣不说破。这时每个人都看到了尴尬的事，但是并不知道其他人是否也知道，所以此时并不会尴尬。如果一旦说破，那么这个事情就会成为共识，每个人都知道其他人也看到了尴尬的事，那么此时就会很尴尬。

从逻辑上来说，为什么一个公共知识变成共识就会导致岛民们开始自杀呢？

关于这个问题有一个漂亮的解释，为了方便说明，我们把问题简化，假设岛上只有3个红眼的人A、B、C。虽然A、B、C三人都能看到红眼的人，但是从逻辑上推论却不是这样。我们代入A的视角推理，A此时不知道自己眼睛的颜色。所以他会做出一下的推理：

如果自己是红眼，那么B和C两人都能看到岛上有红眼的人。

如果自己是蓝眼，并且B也自认为蓝眼，那么此时在B眼中的C是不知道是否岛上有红眼的。因为C不知道自己是否是红眼。而此刻外乡人说破了岛上有红眼的人，所以这种可能被排除了。

也就是说外乡人的一句话提供了一个高阶的信息，即我们做出层层逻辑推导的时候才能得到的信息。

如果上面的推导和说明没有看明白，没有关系，我想出了一种反过来理解的方法。我们还是假设岛上有5个红眼的人，显然，对于岛民们来说，他们每个人都知道岛上有红眼的，并且知道其他人也知道这一点。

但是为什么岛上没有死人呢？因为没有一个逻辑推导的基点，也就是说大家都不知道其他人是什么时候知道这点的，所以没办法根据自杀情况推测究竟有几个人。

而外乡人的一句话提供了一个逻辑推导的基点，所有人都可以以外乡人说这句话的时刻来推导。某种程度上来说这也是一种信息。

题外话

既然都聊到了共识问题，最后再说点题外话。

关于共识问题最典型的例子就是货币，我们都知道现在使用的货币都是国家银行发布的。无论是人民币还是美元或者是其他国家的货币，货币本身往往都是纸质的，并不值钱。但是为什么本身不值钱的货币能够换到值钱的商品呢？

是因为货币背后的共识，即所有人都相信货币是有价值的，也都相信货币可以换到对应价值的商品。所以货币有了价值，可以流通。

货币的共识是哪里来的？其实是政府给的，因为有着政府的背书，人民相信政府，所以也就连带着相信政府发行的货币，于是货币有了价值，可以流通，可以买卖，还可以作为国家的税收等等。

但这里有一个小问题，国家背书是共识的基础并不是共识本身，我们是不是可以直接跳过政府背书产生共识进而诞生货币呢？的确是可以的，实际上这也是比特币的由来。

比特币完全由算法控制，并且算法开源提供公开审查，比特币的每一笔账目都公开（匿名），并且由于发行也通过算法控制，所以一定不会出现货币超发的情况，也就不会产生通货膨胀。一开始是许多黑客将它作为秘密交易的货币，后来相信它有价值的人越来越多，产生了越来越强大的共识，进而到街头巷尾都在讨论炒币的话题，比特币的价格也越来越高。

但是比特币也有bug，最大的bug就是它的获得渠道太过单一。只有挖矿和交易两种来源，显然对于普通人来说，这两个门槛都非常高。也就意味着在很长一段时间里，它注定不可能飞入寻常百姓家，成为每个人都能随手接触到的货币。而它强大的安全性和私密性对于普罗大众来说其实并没有很强的吸引力，存银行、存某付宝就已经足够安全，普通大众也没有匿名交易的需求。

从这点上来说，比特币的确因为共识产生了价值，但很难真正融入生活。所以我大胆猜测一下，区块链技术未来也许会蓬勃发展，但比特币也许只能沦为土豪的玩具或投资手段。

如今的比特币也的确有这个趋势，动辄几万美金一个币的价格显然与大部分打工人无缘。于是很多没有足够财力，但又想乘上东风赚上一笔的人都被引去了各种山寨币。

这些山寨币成百上千倍地疯涨也成百上千倍地狂跌，其实我们动用一点逻辑思考一下就会发现里面问题很大。如果说比特币是真的有了大众的共识，那山寨币有这样的共识吗？如果没有强大的共识，那为什么价格会疯涨呢？

在我看来也不用多说，贴张图就明白了。

好了，题外话就聊到这里，大家挣钱不易，投资且珍惜。