回溯法 0-1背包问题

全栈程序员站长

发布于 2022-09-06 12:33:54

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大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

一.回溯法

回溯法采用的是深度优先策略，回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。 (1)三个步骤： 1.针对所给问题，定义问题的解空间； 2.确定易于搜索的解空间结构； 3. 以深度优先的方式搜索解空间。 (2)优化方法：搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类： 1.使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径。 2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

(3)解空间树的类型分为排列树和子集树。

二.0-1背包问题

问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3  
 4 #define N 100   //默认有99个物品。第一个不使用
 5 int w[N];    //每个物品的重量
 6 int v[N];    //每个物品的价值
 7 int x[N];     //x[i]=1：物品i放入背包，0代表不放入
 8 int n,c;       //n：一共有多少物品，c：背包的最大容量
 9 
10 int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量
11 int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值
12 
13 int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0
14 int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
15 
16 /*
17 *回溯函数 参数t表示当前处在第几层做抉择，t=1时表示当前在决定是否将第一个物品放入背包
18 */
19 void backtrack(int t)
20 {
21     //叶子节点，输出结果
22     if(t>n)
23     {
24         //如果找到了一个更优的解
25         if(CurValue>BestValue)
26         {
27             //保存更优的值和解
28             BestValue = CurValue;
29             for(int i=1; i<=n; ++i)
30                 BestX[i] = x[i];
31         }
32     }
33     else
34     {
35         //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包
36         for(int i=0; i<=1; ++i)
37         {
38             x[t]=i;
39  
40             if(i==0) //不放入背包
41             {
42                 backtrack(t+1);
43             }
44             else //放入背包
45             {
46                 //约束条件：当前物品是否放的下
47                 if((CurWeight+w[t])<=c)
48                 {
49                     CurWeight += w[t];
50                     CurValue += v[t];
51                     backtrack(t+1);
52                     CurWeight -= w[t];
53                     CurValue -= v[t];
54                 }
55             }
56         }
57     }
58 }
59  
60 int main()
61 {
62  
63     cout<<"请输入物品的个数："<<endl;
64     cin>>n;
65     cout<<"请输入每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl;
66     for(int i = 1; i <= n; i++)
67     {
68         cin>>w[i]>>v[i];
69     }
70     cout<<"请输入背包的限制容量："<<endl;
71     cin>>c;
72     
73     backtrack(1);
74     
75     cout<<"最优值是:"<<BestValue<<endl;
76     cout<<"(";
77     for(int i=1;i<=n;i++)
78         cout<<BestX[i]<<" ";
79     cout<<")";
80     return 0;
81 }

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3  
 4 #define N 100   //默认有99个物品。第一个不使用
 5 int w[N];    //每个物品的重量
 6 int v[N];    //每个物品的价值
 7 int x[N];     //x[i]=1：物品i放入背包，0代表不放入
 8 int n,c;       //n：一共有多少物品，c：背包的最大容量
 9 
10 int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量
11 int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值
12 
13 int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0
14 int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
15  
16 void input()
17 {
18     cout<<"请输入物品的个数："<<endl;
19     cin>>n;
20     cout<<"请输入每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl;
21     for(int i = 1; i <= n; i++)
22     {
23         cin>>w[i]>>v[i];
24     }
25     cout<<"请输入背包的容量："<<endl;
26     cin>>c;
27 }
28 void output()
29 {
30     cout<<"最优值是:"<<BestValue<<endl;
31     cout<<"(";
32     for(int i=1;i<=n;i++)
33         cout<<BestX[i]<<" ";
34     cout<<")";
35  
36 }
37 /*
38 *回溯函数 参数t表示当前处在第几层做抉择，t=1时表示当前在决定是否将第一个物品放入背包
39 */
40 void backtrack(int t,int CurWeight,int CurValue,int rw,int x[])
41 {
42     //初始调用时rw为所有物品重量和 
43     if(t>n)
44     {
45         //如果找到了一个更优的解
46         if(CurWeight==c&&CurValue>BestValue)
47         {
48             //保存更优的值和解
49             BestValue = CurValue;
50             for(int i=1; i<=n; ++i)
51                 BestX[i] = x[i];
52         }
53     }
54     else
55     {
56         //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包
57         if(CurWeight+w[t]<=c) //左孩子结点剪枝 
58         {
59             x[t]=1;//选取第i个物品回溯 
60             backtrack(t+1,CurWeight+w[t],CurValue+v[t],rw-w[t],x);
61         }
62         x[t]=0;//不选取第i个物品回溯 
63         if(CurWeight+rw>c)//右孩子结点剪枝 
64         backtrack(t+1,CurWeight,CurValue,rw-w[t],x);        //rw都减去w[t]代表已经考虑过是否选取当前物品，不必再考虑 
65     }
66  
67 }
68  
69 int main()
70 {
71  
72     input();
73     backtrack(1,0,0,11,x);
74     output();
75     return 0;
76 }