作者 | 梁唐
出品 | 公众号：Coder梁（ID：Coder_LT）
大家好，日拱一卒，我是梁唐。
今天我们继续MIT的线性代数课程，今天的内容关于求解方程
Ax=b的可解性以及解的结构。这一块内容是对之前内容的总结以及发散，同时也是线性代数这门课中的基础。
可解性分析
我们还是使用上节课的例子：
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\\ \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\ b_2 \\ b_3
\end{bmatrix}
判断
Ax=b是否有解。
在这个例子当中，我们通过观察可以发现矩阵的第三行刚好是前两行之和，对于
b而言，如果有解，那么也应该有
b_3 = b_1 + b_2。这个只是我们主观的感受，有没有办法来证明呢？
当然有，我们可以使用增广矩阵：
\left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\ \end{array} \right] \underrightarrow{消元} \left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \\ \end{array} \right]
方程的左侧是0，方程的右侧是
b_3-b_2-b_1，显然要使得方程左右两边相等有解，那么必然有
b_3 = b_1 + b_2。
据此，我们得到一条推论：要使得线性方程有解，如果矩阵中行的线性组合可以得到0，那么
b中的分量进行同样的线性组合也应该得到0才有解。
当然满足
b属于矩阵的列空间也是一种方程有解的描述。
求解方程
接下来，我们要试着找出方程的所有解。整个过程分成三个步骤：
令所有的自由变量等于0，解出此时
Ax = b中主变量的解。比如在上面的例子当中，消元之后可以发现
x_2, x_4是自由变量。所以我们令
x_2 = 0, x_4 = 0，接着将它代入方程，可以求出解：
x_p = \begin{bmatrix}
-2 \\0 \\ \frac 3 2 \\ 0
\end{bmatrix}
Ax = 0的解，即零空间
这一个步骤在之前的内容当中出现过，所以不过多赘述，这里我们直接写出答案：
x_n = c_1 \begin{bmatrix}
-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}
2 \\ 0 \\ -2 \\ 1
\end{bmatrix}
- 方程的完备解(complete solution)
x_c=x_p + x_n因为
Ax_p = b, Ax_n = 0，我们把两式相加可以得到
A(x_p + x_n) = b。
在本例子当中
x_c = \begin{bmatrix}-2 \\ 0 \\ \frac 3 2 \\ 0 \end{bmatrix} + c_1 \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ -2 \\ 1\end{bmatrix}秩与方程的解
接着我们来讨论矩阵的秩与方程解的关系。
对于m x n的矩阵而言，它的秩
r的范围为：
r \le m, r \le n，接着我们来分情况讨论：
r = n，此时没有自由变量
比如:
A=\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 1 \\
6 & 1 \\
5 & 1
\end{bmatrix}, R= \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
Rx = 0只有唯一解，即
x=0，由于方程没有自由变量，如果方程的解存在，必然唯一。在当前例子当中，要使得方程有解，增等矩阵消元之后对应的第三行与第三行的值必须为0。
r = m此时有
n-r = n - m个自由变量，因为此时矩阵
A的列空间为
R^m，所以对于任意属于
R^m的
b均有解，即对于任意
b均有解。
并且由于自由变量存在，所以
Ax = 0的解也有无数多个。
r = n = m比如：
A= \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 1
\end{bmatrix}
经过化简之后，可以得到
R= I。
此时
Ax = 0仅有唯一解，即
x=0。并且
Ax = b也只有唯一解。因此整个方程只有唯一解。
最后，我们做一个总结。
我们可以发现，方程是否有解与矩阵的秩密切相关。根据矩阵秩与矩阵大小的关系，我们可以直接推导出方程有解的情况：
\begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\R=I&R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\\1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array}
这个结论本身很简单，但是这个结论的推导过程非常有意思。整个MIT课程的知识点安排顺序以及思维模式和国内上交的那本教材完全不同。放在一起学习非常有取长补短的功效。
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