日拱一卒，麻省理工的线性代数课，列空间和零空间

TechFlow-承志

发布于 2022-09-21 10:45:37

4850

发布于 2022-09-21 10:45:37

文章被收录于专栏：TechFlowTechFlow

作者 | 梁唐

出品 | 公众号：Coder梁（ID：Coder_LT）

大家好，日拱一卒，我是梁唐。

今天我们继续MIT的线性代数课程，这一节课的内容关于列空间和零空间。这两个概念同样在线性代数当中非常重要，并且是国内教材相对比较欠缺的，对于我们系统性地理解和掌握这门课程非常有帮助。

子空间

在上一节课当中我们了解了什么是线性子空间，比如一个穿过原点的平面或者是直线都是一个子空间。关于子空间我们有一些简单的性质需要讨论：

假设

是一个

R^3

内的平面，

是

R^3

内穿过原点的一条直线，它们都是一个子空间。那么，对于

P \cup L

，它是一个子空间吗？

答案是绝大多数情况下不是，除非

和

共面。因为当不共面时，我们在

或

中分别选择两个向量相加，得到的结果结果不在

或

上。

类似的，对于

P \cap L

，它是一个子空间吗？

答案是yes，我们可以进行一个简单的证明。假设我们在

L\cap P

上选择了两个向量

和

。我们对这两个向量计算线性组合，得到

cv + dw

。根据子空间的性质，这个线性组合的结果必然同时在

和

当中，因此它是一个子空间。

我们可以将这个结论进行推广，对于子空间

和

，

S \cap T

仍然是一个子空间。

列空间

假设我们拥有一个如下的矩阵：

A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}

它的列空间

C(A)

是

R^4

的子空间，因为每一列向量有四个分量。这个子空间是由

中的列向量进行线性组合得到的。

接着，我们来思考一个问题，这个子空间有多大呢？它能填充整个

R^4

的空间吗？这个答案可能很难直观地得到答案，我们需要将它和线性方程组进行结合。

我们来思考一个问题，对于方程

Ax = b

而言，对于任意

都有解吗？

这个答案很显然，不是，因为方程组中一共有4个方程，但是只有3个未知数。我们写出整个方程：

Ax=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{bmatrix}

我们观察一下方程组可以发现，我们很容易找到几组能够让方程组成立的

，比如:

\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\ 3\\ 4\\ 5 \end{bmatrix}

这三组

对应的解分别是：

\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}

我们要寻找满足有解的

也很简单，我们可以先枚举解，然后通过矩阵乘法计算得到对应的

。也就是说要使得方程组有解，需要满足

向量在矩阵

的列空间当中。

因为根据列空间的定义，本来列空间就会包含列向量的所有线性组合。而

的乘法计算，本质上就是对矩阵的列向量进行线性组合。所以列空间自然包含了所有有解的向量

，这两个是一回事。这样我们也就知道了什么时候方程组有解，种种判断的计算方法，本质上都是围绕这一点展开的。

线性相关

这里教授做了一点展开，我们思考一个问题，矩阵

的三个列向量彼此之间完全独立吗？

我们稍微观察一下就会发现，它们并没有完全独立。因为第三列向量等于前两列向量的和。也就是说第三列向量可以被前两列向量表达，它对于构成的列空间并没有贡献。

对于这种情况，称为线性相关。

零空间

最后，我们再来看看零空间的定义。

零空间的定义是指在

R^3

当中，所有使得方程

Ax=0

有解的解

x=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}

的集合。

Ax=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

也就是上面例子当中，

等于0的特殊情况。我们把零空间写作

N(A)

，英文是nullspace。

对于这个例子，我们可以很容易发现，

x=\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix}

是方程的一个解，进一步我们可以发散，对于所有的

c\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix}

解，方程都成立。也就是说

N(A)

包含所有形如

c\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{bmatrix}

的向量，这里的

是一个任意实数。

我们可以作出它的图像：

我们可以简单证明一下，

N(A)

是一个子空间。假设

和

是

N(A)

中的两个向量，那么满足

Av=0, Aw=0

。根据矩阵运算的分配率，可以得到

A(v+w)=0

。

并且我们对于

和

进行线性组合之后乘上

的结果都等于0，也就是说它们线性组合之后的结果仍然在

N(A)

当中，也就证明了

N(A)

是一个子空间。

最后，我们思考一个问题，对于不为0的

，方程

Ax =b

的解的集合还是一个子空间吗？

答案不是，证明也非常简单，因为原点不在其中。

喜欢本文的话不要忘记三连~

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2022-07-05，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

编程算法

本文分享自 Coder梁微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

编程算法

登录后参与评论

0 条评论

热度