线性代数（持续更新中）

浪漫主义狗

发布于 2022-09-28 19:27:51

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1. 基本概念

1.1 行列式

二阶行列式：

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right| = a_{11}\times a_{12} - a_{21}\times a_{22}

对于 a_{ij}：i 表示行标，j 表示列标。
对角线 a_{11}a_{22} 为主对角线；a_{12}a_{21} 为次对角线

三阶行列式：

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{matrix}\right| = \begin{aligned}&a_{11}\times a_{22}\times a_{33} + a_{21}\times a_{32}\times a_{33} + a_{12}\times a_{23}\times a_{31}\\&-a_{13}\times a_{22}\times a_{31} - a_{23}\times a_{32}\times a_{11} - a_{12}\times a_{21}\times a_{33}\end{aligned}

1.2 线性方程组

n 元非齐次线性方程组：

设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组，其中 a_{ij} 是第 i 个方程第 j 个未知数的系数，b_i 是第 i 个方程的常数项，且 b_i 不全为 0。

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\\\ \dots\\\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases}\\

n 元齐次线性方程组：

设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组，其中 a_{ij} 是第 i 个方程第 j 个未知数的系数，b_i 是第 i 个方程的常数项，且 b_i = 0。

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=0\\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=0\\\\ \dots\\\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=0\\ \end{cases}\\

线性方程组：

n 元线性方程组简称线性方程组或方程组。

1.3 矩阵

1.3.1 矩阵的定义

二阶矩阵：

\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}

三阶矩阵：

\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}

m\times n 矩阵：

由 m\times n 个数 a_{ij}(i = 1, 2, \dots, m, j = 1, 2, \dots,n) 排列成的 m 行 n 列的数表。

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{bmatrix}

与线性方程组相关的矩阵：

对于非齐次线性方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\\\ \dots\\\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases}\\

有如下矩阵：

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} &b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} &b_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}&b_{m}\\ \end{bmatrix}

其中：

A 为系数矩阵。
X 为未知数矩阵。
b 为常数项矩阵。
B 为增广矩阵。

1.3.2 矩阵的计算

加减：

两个矩阵相加或相减，需要满足两个矩阵的列数和行数一致。

满足交换律： A + B = B + A

乘法：

两个矩阵 A 和 B 相乘，需要满足 A 的列数等于 B 的行数。

矩阵乘法不满足交换律：AB\ne BA ，但仍然满足结合律和分配律：

1.3.3 零矩阵和单位矩阵

零矩阵：

元素都是 0 的矩阵称为零矩阵，记作 O。
不同型的零矩阵是不同的。

单位矩阵：

单位矩阵是一个 n\times n 矩阵，从左到右的对角线（主对角线）上的元素是 1，其余元素都为 0。

下面是三个单位矩阵：

若矩阵 A 为 n\times n 的方阵，E 为单位矩阵，则：AE=A,EA=A

1.3.4 逆矩阵和奇异矩阵

逆矩阵：

矩阵 A 的逆矩阵记作 A^{-1}。
AA^{-1} = E，其中 E 为单位矩阵。

奇异矩阵：

当一个矩阵没有逆矩阵的时候，称该矩阵为奇异矩阵。
当且仅当一个矩阵的行列式为零时，该矩阵是奇异矩阵。

当 a\times d-b\times c=0 时 A 没有定义，A^{-1}不存在，则 A 是奇异矩阵。

如：

A=\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix}

是奇异矩阵。

1.3.5 矩阵转置

将矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新的矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作： A^T。

转置运算公式：

1.3.6 对称矩阵

如果一个矩阵转置后等于原矩阵，那么这个矩阵称为对称矩阵。

由定义可知，对称矩阵一定是方阵。
对称矩阵很常见，实际上，一个矩阵转置和这个矩阵的乘积就是一个对称矩阵：

两个对称矩阵相加，仍然得到对称矩阵：

2. 方程组的解释

2.1 二元方程组及其矩阵

设方程组有 2 个未知数，一共有 2 个方程：

则有方程组

\begin{cases}2x&-y&=0\\-x&+2y&=3\end{cases}

写作矩阵形式有

\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}

通常我们把第一个矩阵称为系数矩阵 A，将第二个矩阵称为向量 x，将第三个矩阵称为向量 b，于是线性方程组可以表示为 Ax=b。

行图像：

即直角坐标系中的图像。

解释：

上图是直角坐标系中方程组中的两直线相交的情况。
接下来我们按列观察方程组：
x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}
我们把第一个向量称作 col_1，第二个向量称作 col_2，分别表示第一列的向量和第二列的向量。
要使得式子成立需要第一个向量加上两倍的第二个向量，即：
1\times col_1 + 2\times col_2 = 1\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}
这和我们方程组的解 x = 1,y = 2 是对应的。

列图像：

即在二维平面上画出上面的列向量。

解释：

绿向量 col_1与蓝向量（两倍的绿向量 col_2）合成红向量 b。
接下来我们继续观察方程组：
x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}
显然地，col_1 和 col_2 通过某种线性组合得到了向量 b，即： 1\times col_1 + 2\times col_2 = 1\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}
那么推广来看， col_1 和 col_2 通过所有的线性组合所得到的向量 b_i 将能够铺满整个平面。

2.2 三元方程组及其矩阵

设方程组有 3 个未知数，一共有 3 个方程：

则有方程组

\begin{cases}2x&-y&&=0\\-x&+2y&-z&=-1\\&-3y&+4z&=4\end{cases}

写作矩阵形式有

A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&4\end{bmatrix},\\ b=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}

行图像的解释：

在三维直角坐标系中，每一个方程将确定一个平面。
接下来我们按列观察方程组：
x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\\-3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}
该例子中的三个平面会相交于一点 (0,0,1)，这个点就是方程组的解，且带入 x = 0,y = 0,z = 1 也可以使得上述式子成立。

列图像的解释：

观察列图像的向量 col_1,col_2,col3 的组合。
继续观察方程组：
x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\\-3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}
显然地，col_1,col_2,col_3 也可以通过某种线性组合得到向量 b，即：

那么推广来看，我们需要考虑，对于任意的 b，是否都能求解 Ax=b？用列向量线性组合的观点阐述：col_1,col_2,col_3 通过所有的线性组合所得到的向量 b_i ，是否能够铺满整个空间？对上面这个例子，答案是肯定的。如果三个向量在同一个平面上，则无法铺满整个空间。

推广的解释：

当三个向量在同一个平面上时，那么他们的线性组合也一定都在这个平面上。
例如：col_3=col_1+col_2 不管怎么组合，这三个向量的结果都逃不出其所在的平面。
因此当 b 在平面内，方程组有解，而当 b 不在平面内，这三个列向量就无法构造出 b。
在后面的课程中，我们会了解到这种情形称为奇异、矩阵不可逆。

2.3 更高的的维度

我们推广到九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程。

显然地，此时已经无法从坐标图像中描述问题了，但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题，仍然是上面的问题。我们是否总能通过所有的线性组合所得到的向量 b_i，来铺满整个九维空间？

当然这仍取决于这九个向量，如果我们取一些并不相互独立的向量，则答案是否定的，比如取了九列但其实只相当于八列，有一列毫无贡献（这一列是前面列的某种线性组合），则会有一部分b 无法求得。

2.4 关于 Ax = b 的计算

对于任意的线性方程组，我们都可以将其化为矩阵的形式，得到系数矩阵 A，向量 x 和向量 b，接下来讲解其计算。

对于 Ax = b 是一种乘法运算：

例1：

使用列向量线性组合的方式，一次计算一列，即把 Ax 看做 A 列向量的线性组合：

解：

\begin{aligned} \begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} &= 1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}\\\\ &= \begin{bmatrix}1\times 2 + 2\times 5\\1\times 1 + 2\times 3\end{bmatrix}\\\\ &= \begin{bmatrix}12\\7\end{bmatrix} \end{aligned}

例2：