线性代数与解析几何——Part1 解析几何

codename_cys

发布于 2022-10-04 19:15:18

4120

发布于 2022-10-04 19:15:18

0. 前言

线代是很早之前大一上的东西了，当时记得学的还可以，不过确实印象中里面各种零零散散的公式定理有一堆，感觉学的不怎么成体系，后来也一直没怎么真正用起来，等到现在也基本算是把学的全部还给老师了……

不过问题在于，虽然我现在已经不搞物理很多年了，但是架不住我转行做算法了啊，算法的核心不就是各种矩阵计算吗？虽然由于神经网络当中参数的复杂性，我自己也不是研究员，更多时候主要考察的还是数据特征以及对结果进行定性上的分析，而不会从模型结构中涉及的矩阵变换来对结果进行调优，但是线代终究感觉还是有必要去捞一下了……

所以，这里我打算还是掏出当年的教科书把线代给复习一下吧……

不过说到这里，我真的是想好好吐槽一下了，我掏出教科书之后才发现，当年上线代居然用的教材是线性代数与解析几何，然后教材前两章全都在讲解几，里面涉及到的线代相关的东西貌似也全部是服务于坐标系变换的，虽说我是物理系的吧，但是这是不是也太忽悠了啊，难怪当年印象中我好像特意去找了本数学系的线代教材自学来着……

简直了……

算了，先把这本书简单过一下吧，回头下次再找本数学系的教材好好补补吧……

1. 向量与复数

1. 向量

向量的含义顾名思义，就是即有大小又有方向的量，其满足如下性质：

交换律：

\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}

结合律：

(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})

\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}

\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}

1 \vec{a} = \vec{a}

\lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}

(\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}

\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}

关于向量还有一些比较简单的性质，比如说：

命题1.1.1

另外，我们可以基于此定义线性组合和线性相关：

因此，显然有：

两个向量线性相关当且仅当其共线；
三个向量线性相关当且仅当其共面。

2. 向量运算

1. 数量积（内积）

首先，我们给出其定义如下：

定义1.3.1

两个向量\vec{a}, \vec{b} 的数量积（内积）是一个标量，它等于两个向量的模长与两个向量夹角的余弦的乘积，即为\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos \theta 。

物理含义上来说，内积就是两个向量在各自方向上的投影之积。

显然，我们有如下性质：

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}

(\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b})

\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} \geq 0

三角不等式：

|\vec{a}| + |\vec{b}| \geq |\vec{a} + \vec{b}|

2. 向量积

同样，给出向量积的定义如下：

显然，我们同样有：

\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}

(\lambda \vec{a}) \times \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\lambda \vec{b})

(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}

更进一步的，我们其实还有性质如下：

(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{c} + \vec{d}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d}) - (\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})

3. 混合积

混合积的定义为

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}

，其物理含义上恰好就是这三个向量组成的平行六面体的体积。

我们可以将其结果写成行列式的形式：

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

显然有：

三个向量共面当且仅当其混合积为0。

2. 空间解析几何

1. 直线和平面

1. 直线的表达

\frac{x-a_1}{u_1} = \frac{y-a_2}{u_2} = \frac{z-a_3}{u_3}

直线的方向向量为：

\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)

2. 平面的表达

Ax+By+Cz+D=0

平面的法向量表达为：

\vec{n} = (A,B,C)

3. 点到直线的距离

d = \frac{|\vec{u} \times \vec{AP}|}{|\vec{u}|}

4. 点到平面的距离

d = \frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

5. 两直线间的距离

d = \frac{|\vec{u} \times \vec{v} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}

6. 两平面间的夹角

\phi = arccos \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}

7. 直线与平面的夹角

\varphi = arcsin \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}

2. 曲线和曲面

1. 曲线表达式

Q(t) = (x(t), y(t), z(t))

2. 曲面表达式

柱面

P(s, t) = s \vec{u} + Q(t)

锥面

P(s, t) = (1-s)A + sQ(t)

常见二次曲面
1. 椭球面
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
1. 单叶双曲面
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1
1. 双叶双曲面
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1
1. 二次锥面
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0
1. 椭圆抛物面
z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}
1. 马鞍面（双曲抛物面）
z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}
1. 椭圆柱面
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
1. 双曲柱面
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
1. 抛物柱面
y^2 = 2px

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。

原始发表：2022-10-02，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

serverless

本文分享自作者个人站点/博客前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

serverless

登录后参与评论

0 条评论

热度