欧拉角和万向节死锁

有很多种方式可以描述旋转，但是使用欧拉角来描述是最容易让人理解的。这篇文章将会介绍欧拉角的基础知识、欧拉角的问题和如何去解决这些问题，当然还有欧拉角无法解决的万向节死锁问题，在最后还会介绍如何将欧拉角转换成矩阵，便于程序计算。

坐标系

在介绍欧拉角之前，我们先来简单了解下坐标系。

我们知道在canvas 2d 中的画布坐标系是下图这个样子的。坐标原点在画布的左上角，X 轴正值向右，Y 轴正值向下。

WebGL 的坐标系和 canvas 2d 的不太一样，而且 WebGL 会比 canvas 2d 多一个 Z 轴。它的坐标系如下所示。

这个坐标系和数学中一样原点在中间，X 轴正值向右，Y 轴正值向上。而我们从正面看不见 Z 轴，得旋转下坐标系。

这里的 Z 轴可能有两种形式，一种是正值朝外也就是指向屏幕面前的你，另一种是正值朝内也就是指向屏幕里面。

当 Z 轴正值朝外，称为坐标系为右手坐标系，当 Z 轴正值朝内称为左手坐标系。可以伸出双手像下图一样比划下，就知道为什么称为左手坐标系和右手坐标系了。

左手坐标系和右手坐标系还有一个区别，是它们的旋转正方向。当绕 Z 轴旋转 90° 时，是顺时针还是逆时针旋转呢？

还是伸出双手，握拳，大拇指伸出，大拇指指向旋转轴的正方向，其他手指的弯曲方向就是旋转正方向。

欧拉角

我们在现实生活中向左转向右转，向上看向下看这些都是旋转，用欧拉角（Euler angles）来描述这些旋转最符合我们的常识，称作欧拉角是因为它是数学大神欧拉证明的，他证明任何一个 3D 空间的旋转，都可以拆分为沿着自身三个坐标轴的旋转，也就是任何 3D 空间旋转都是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

我们一般称为这三个旋转为偏航-俯仰-翻滚（Yaw-Pitch-Roll 或 Heading-Pitch-Bank），也就是左右摇头-上下点头-左右歪头。这 3 个旋转的顺序是分别绕 Y 轴、X 轴和 Z 轴旋转，当然旋转的顺序也不一定非要是 YXZ，也可以 XYZ 等其他旋转顺序，比如 ThreeJS 的默认顺序就是 XYZ。

上图中使用的是上一小节介绍的右手坐标系，从轴的正值看向负值，逆时针旋转是旋转正方向。

欧拉角的三次旋转是沿着体轴旋转，而不是固定轴旋转。体轴会随着每一次旋转而旋转，固定轴则是固定不动不会跟随旋转。

我们可以先左右摇头 0 度，然后向下低头 90 度看向地面，最后按照 Z 轴旋转 90 度，此时我们还是面向地面，但是如果我们是按照固定轴旋转则此时是耳朵朝向地面。

image.png

上面图中，左边立方体是按照体轴旋转，右边立方体是安装固定轴旋转。点击该链接查看旋转动画 https://codesandbox.io/s/great-haze-grjke?file=/src/index.js 。

一个比较有意思点是，只要按照相反顺序旋转，固定轴旋转和体轴旋转一样的，比如体轴按照 YXZ 旋转，那么固定轴按照 ZXY 旋转相同角度，旋转结果是相同的！大家可以自己做下实验体会一下。

欧拉角的优点很明显，易于人类使用，我们可以轻松理解，而且欧拉角只用 3 个数字的存储定向可以节省内存。

规范欧拉角

欧拉角也有一些缺点，其中一个是定向不是唯一的，比如旋转 10 度和旋转 360 + 10 度是相同的。要解决这个问题，我们需要使用规范欧拉角，规范欧拉角将偏航和翻滚角限制在

，俯仰角限制在

，现在任何定向规范欧拉角都只有一个欧拉角三元组表示。

但是这样会有一个奇点，我们还需要规定如果俯仰角为正负 90 度时，翻滚角为 0，这在万向节死锁小节中解释。所以规范欧拉角需要满足如下规定。

-180 < Yaw <= 180
-90 <= Pitch <= 90
-180 < Roll <= 180

if (Pitch == -90 || Pitch == 90) Roll = 0

插值

欧拉角的另一个缺点是插值问题。在两个定向之间插值，给定参数 t 它的大小是 0 到 1。如果它为 0.5 我们就可以获得两个定向中间的一个定向。但是欧拉角有两个方向可以插值。

如上图所示，这两个定向之间相差 20 度，如果我们使用简单的线性插值，那么会绕一大圈旋转 340 度，而不是 20 度。要解决这个问题，我们需要将插值角度限制在

之间。

function wrapPi(rad) {
  if (Math.abs(rad) <= Math.PI) {
    const PI2 = Math.PI * 2
    rad -= (Math.floor((rad + Math.PI) / PI2) * PI2)
  }
  return rad
}

function lerp(rad1, rad2, t) {
  return rad1 + t * wrapPi(rad2 - rad1)
}

有了上面工具，我们可以找到两个角度之间插值的最短弧。但是这并不能完全解决问题，它还会受到万向节死锁影响。

万向节死锁

万向节死锁（Gimbal lock）是欧拉角根本性的问题，我们并不能和上面一样通过一些方法来解决这个问题。无论用什么顺序（XYZ，YZX 等）去旋转，只要第二个轴旋转角度是正负 90 度就会发生万向节死锁问题。

当第二轴旋转正负 90 度时，第一个轴和第三个轴将会重叠在一起，也就是说这时候丢失了一个自由度，只有两个旋转自由度。我们很难自己去想象这种情形，建议观看这个演示动画。

假设现在有 ZYX 顺序的旋转，其中 Y 轴旋转为 90 度。我们可以看到下图中 X 轴的旋转和 Z 轴的旋转是对相同轴的旋转！

因为欧拉角是按照体轴旋转，旋转顺序是父子关系，父轴旋转会带动子轴旋转，上图中 Y 轴旋转 90 度，带动它的子轴 X 轴旋转 90 度，使 X 轴与 Z 轴重合。

我们也可以从公式来验证这一点。

通过上面公式我们可以发现，绕三个轴旋转，其实最终是绕两个轴旋转（X 轴和 Y 轴），我们丢失了 Z 轴的自由度。

需要注意的是万向节死锁问题，并不是说有欧拉角无法描述的定向。而是两个定向之间的插值问题，如果看了上方视频，可以发现当第二个轴旋转 90 度时，让它再旋转到另一个定向，会发生不自然的旋转，这可能就会照成物体突然晃动等问题。如下图所示，我们期望的是第二个旋转，而不是第一个不自然的旋转。

要避免万向节死锁问题，我们可以用四元数来描述定向，这将在下一篇文章介绍。

欧拉角转矩阵

欧拉角对于人来说很容易理解，但是对于电脑来说并不是。一般由用户输入欧拉角的值，程序在内部将欧拉角转换为矩阵，然后用矩阵去使物体发生旋转并呈现给用户。

因为欧拉角是围绕三个基本坐标轴的旋转，我们可以根据三个轴的旋转矩阵去计算最终的旋转矩阵。（这里不过多介绍如果计算出 3 个轴的旋转矩阵，可以点击连接进行查看）

矩阵的一个优势就是可以将不同的变换通过矩阵乘法相乘，就可以得到一个表示最终变换的矩阵。所以这里将欧拉角转换成矩阵就是将这三个旋转矩阵结合起来。

因为我们只关注旋转所以用 3x3 的旋转矩阵就行了，旋转顺序是偏航-俯仰-翻滚，将公式转换为代码如下所示。

class Mat3 {
  static fromHPB(h, p, b, out = []) {
    const ch = Math.cos(h), cb = Math.cos(b), cp = Math.cos(p);
    const sh = Math.sin(h), sb = Math.sin(b), sp = Math.sin(p);
    out[0] = ch * cb + sh * sp * sb
    out[1] = sb * cp
    out[2] = ch * sp * sb - sh * cb
    out[3] = sh * sp * cb - sb * ch
    out[4] = cp * cb
    out[5] = sb * sh + ch * sp * cb
    out[6] = sh * cp
    out[7] = -sp
    out[8] = ch * cp
    return out
  }
}

总结

用欧拉角来描述旋转是非常容易让人理解的，但是欧拉角也会有一些问题，一些问题我们可以用一些方法去解决，但是万向节死锁问题是欧拉角最根本的问题，没有方法可以解决这个问题。万向节死锁是欧拉角的第二个轴旋转角度是正负 90 度时，将会失去一个轴的自由度，它会让两个定向之间的插值变得不自然，要解决万向节死锁问题需要用到四元数。欧拉角容易让人理解，但是对于电脑并不是，所以在程序内部一般会将欧拉角转换成矩阵。