投影矩阵的推导_分块矩阵的行列式公式

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

看了好几篇关于投影矩阵的文章，在z坐标的推导上，没有提到为什么z’和1/z成线性关系，而是通过结论中的投影矩阵，即已知z’= （zA + B）/w，并且x和x’,y和y’关系式中分母都有-z，所以w为-z，然后(-n，-f)映射到(-1,1),求出A、B，得到z’和z的关系。

这是用结论去反推过程，过程再得到结论，这样的逻辑我觉得不对，我认为，应该是先得到x,y,z各自的关系式，才去构造出投影矩阵。

推导x,y坐标

向量投影到近平面，然后映射到NDC，就可以得到，在此不赘述。

（下文Ze同Z，都是投影前向量坐标（观察空间坐标））

式1.1

式1.2

重点讨论如何推导z坐标

z坐标的转换关系，并不是投影得到的，而是根据我们的需要：

1、表示物体原有的前后关系。

2、映射到标准设备坐标，从（-n，-f）映射到（-1,1）（使用右手坐标系）。

3、近处精度更大；因为精度有限，当场景中有许多物体时，按照重要程度来说，首先保证近处物体前后关系是正确；所以要让近处物体的z坐标有更大的表示范围。

关键在于3，在这篇文章（https://learnopengl-cn.github.io/04%20Advanced%20OpenGL/01%20Depth%20testing/#_3）中的深度精度部分有提到，如何让近处有更大表示范围，文章中是映射到(0,1)，映射到(-1, 1)也是一样的道理。

这里我认为，不只是z’ = A*1/z + B可以达到我们的需求，z’ = A*1/z² + B也可以，还可以构造很多关系式都可以达到我们的需求，但是我们的最终目标是构造一个投影矩阵，投影矩阵*向量/齐次坐标=映射后的向量。

整理式1.1，式1.2

式2.1

式2.2

整理后，式2.1、式2.2分母都有Ze，因此选择z'(NDC) = A*1/z(观察空间) + B，即可以和x,y的关系式对应起来，又满足我们的需求

(2019.08.15补充：使用1/z还有一个重要的原因在于，光栅化时，需要进行透视校正插值，因为z'(NDC)与1/z(观察空间)是线性关系（证明：https://www.cnblogs.com/cys12345/archive/2009/03/16/1413821.html或《3D游戏与计算机图形学中的数学方法》 第3版，第5.4章节），所以z'(NDC) = A*1/z(观察空间) + B，另外，如果z'(NDC)直接保存为z(观察空间) ,等到进行透视校正插值，再进行转换，这样做是不好的，因为透视校正插值是逐片元操作，就要重复非常多次的运算，直接保存为A*1/z(观察空间) + B，是逐顶点操作，运算次数就少很多)

z'(NDC) = A*1/z + B，(-n, -f)映射到（-1，1）

式2.3

式2.1，式2.2，式2.3就可以整理出投影矩阵（负号提取到分母）

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