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求微分方程的特解matlab_二阶微分方程求解

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全栈程序员站长
发布2022-11-17 18:09:12
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发布2022-11-17 18:09:12
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求解微分方程

desolve函数

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S = dsolve(eqn)求解微分方程eqn,其中eqn是符号方程。使用diff和==来表示微分方程。例如,diff(y,x) == y表示方程dy / dx  =  y。通过指定 eqn为这些方程的向量来求解微分方程组。

S = dsolve(eqn,cond)eqn用初始或边界条件求解cond。

S = dsolve(___,Name,Value) 使用由一个或多个Name,Value对参数指定的附加选项。

[y1,...,yN] = dsolve(___)将解分配给变量y1,...,yN。

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求解y关于什么的函数就要声明为y (x) ,必须使用syms来声变量, 否则会被警告

实例1

d d x y ⁡ ( t ) = − 3 y ⁡ ( t ) \frac{d}{ {dx}}\operatorname{y} \left( t \right) = – 3\operatorname{y} \left( t \right) dxd​y(t)=−3y(t)

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%案例一
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syms y(t); 
eqn=diff(y,t) == -3*y
F=dsolve(eqn)
latex(F)
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C 1   e − 3   t C_{1}\,{\mathrm{e}}^{-3\,t} C1​e−3t

实例2

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%案例二
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clc
syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y
S = dsolve(eqn)

结果和上面相似

实例3

d d x y ⁡ ( t ) = 3 x 2 \frac{d}{ {dx}}\operatorname{y} \left( t \right) = 3{x^2} dxd​y(t)=3x2

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%案例三
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syms y(t) x
eqn=diff(y,t)==3*x^2
F=dsolve(eqn) 
latex(F)
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3   t   x 2 + C 1 3\,t\,x^2+C_{1} 3tx2+C1​

实例4

d 2 d x 2 y ⁡ ( t ) = a y ⁡ ( t ) \frac{ { {d^2}}}{ {d{x^2}}}\operatorname{y} \left( t \right) = a\operatorname{y} \left( t \right) dx2d2​y(t)=ay(t)

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%二阶案例一
clear all
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syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y
ySol(t) = dsolve(eqn)
latex(ySol(t))
在这里插入图片描述
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C 1   e − a   t + C 2   e a   t C_{1}\,{\mathrm{e}}^{-\sqrt{a}\,t}+C_{2}\,{\mathrm{e}}^{\sqrt{a}\,t} C1​e−a ​t+C2​ea ​t

求解有条件的微分方程

d y d t = z d z d t = − y \begin{gathered} \frac{ {dy}}{ {dt}} = z \\ \frac{ {dz}}{ {dt}} = – y \\ \end{gathered} dtdy​=zdtdz​=−y​

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%有条件的微分方程
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syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y]
S = dsolve(eqns)

dsolve返回一个包含解的结构

在这里插入图片描述
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%有条件的微分方程案例1
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syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y]
S = dsolve(eqns)
ySol(t) = S.y
zSol(t) = S.z
在这里插入图片描述
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C 1   cos ⁡ ( t ) + C 2   sin ⁡ ( t ) C_{1}\,\cos\left(t\right)+C_{2}\,\sin\left(t\right) C1​cos(t)+C2​sin(t) C 2   cos ⁡ ( t ) − C 1   sin ⁡ ( t ) C_{2}\,\cos\left(t\right)-C_{1}\,\sin\left(t\right) C2​cos(t)−C1​sin(t) ( ∂ ∂ t y ⁡ ( t ) = 4 z ⁡ ( t )   ∂ ∂ t z ⁡ ( t ) = − 3 y ⁡ ( t ) ) \left( {\frac{\partial }{ {\partial t}}\operatorname{y} \left( t \right) = 4\operatorname{z} \left( t \right)\,\frac{\partial }{ {\partial t}}\operatorname{z} \left( t \right) = -3\operatorname{y} \left( t \right)} \right) (∂t∂​y(t)=4z(t)∂t∂​z(t)=−3y(t))

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%有条件的微分方程案例2
clear all
clc
syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == 4*z, diff(z,t) == -3*y]
S = dsolve(eqns)
ySol(t) = S.y
zSol(t) = S.z
在这里插入图片描述
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其实也可以直接用

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%输出分配
[ySol(t),zSol(t)] = dsolve(eqns)
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微分方程显示隐式解

∂ ∂ x y ⁡ ( x ) = e − y ⁡ ( x ) + y ⁡ ( x ) \frac{\partial }{ {\partial x}}\operatorname{y} \left( x \right) = {e^{ – \operatorname{y} \left( x \right)}} + \operatorname{y} \left( x \right) ∂x∂​y(x)=e−y(x)+y(x)

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%这里我们设置"Inplicit"为True
sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)
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%求微分方程的显式和隐式解
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syms y(x)
eqn = diff(y) == y+exp(-y)
sol = dsolve(eqn)
sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)
在这里插入图片描述
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未找到显式解决方案时查找隐式解决方案

∂ ∂ t y ⁡ ( x ) = y ⁡ ( x ) + a y ⁡ ( x ) \frac{\partial }{ {\partial t}}\operatorname{y} \left( x \right) = \operatorname{y} \left( x \right) + \frac{a}{ {\sqrt {\operatorname{y} \left( x \right)} }} ∂t∂​y(x)=y(x)+y(x) ​a​ 同时我们已知 y ( a ) = 1 y(a)=1 y(a)=1

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%当未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
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syms a y(t)
eqn = diff(y,t) == a/sqrt(y) + y
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)
在这里插入图片描述
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若要返回包含参数a的所有可能值的解决方案,请通过将”lgnoreAnalyticConstraints”设置为false来关闭简化。

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yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)
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%当未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
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syms a y(x)
eqn = diff(y,x) == a/sqrt(y) + y
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)
yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)
在这里插入图片描述
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求微分方程级数解

dsolve返回包含未计算积分项的解 ( x + 1 ) ∂ ∂ x y ⁡ ( x ) − y ⁡ ( x ) + ∂ 2 ∂ x 2 y ⁡ ( x ) = 0 \left( {x + 1} \right)\frac{\partial }{ {\partial x}}\operatorname{y} \left( x \right) – \operatorname{y} \left( x \right) + \frac{ { {\partial ^2}}}{ {\partial {x^2}}}\operatorname{y} \left( x \right) = 0 (x+1)∂x∂​y(x)−y(x)+∂x2∂2​y(x)=0

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%级数1
clear all
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syms y(x)
eqn = (x^2-1)^2*diff(y,2) + (x+1)*diff(y) - y == 0
S = dsolve(eqn)
在这里插入图片描述
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但是若要返回x=-1附近微分方程的级数解,请将“ExpansionPoint”设置为 -1。dsolve 根据Puiseux级数展开返回两1个线性无关的解。

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

通过将‘ExpansionPoint’设置为 I n f Inf Inf,找到围绕扩展点 ∞ \infty ∞的其他级数解

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

为具有不同单边限制的函数指定初始条件(特解)

∂ ∂ x y ⁡ ( x ) = e − 1 x x 2 \frac{\partial }{ {\partial x}}\operatorname{y} \left( x \right) = \frac{ { {e^{ – \frac{1}{x}}}}}{ { {x^2}}} ∂x∂​y(x)=x2e−x1​​

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%添加条件
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syms y(x)
eqn = diff(y) == exp(-1/x)/x^2
ySol(x) = dsolve(eqn)
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设初始条件 y ( 0 ) = 2 y(0)=2 y(0)=2,则须添加下列代码:

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cond = y(0) == 2;
S = dsolve(eqn,cond)
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练习题

可以直接敲代码试试 d y d t + 4 y ⁡ ( t ) = e − t , y ( 0 ) = 1 \frac{ {dy}}{ {dt}} + 4\operatorname{y} \left( t \right) = {e^{ – t}},y(0)=1 dtdy​+4y(t)=e−t,y(0)=1

在这里插入图片描述
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2 x 2 d 2 y d x 2 + 3 x d y d x − y = 0 2{x^2}\frac{ { {d^2}y}}{ {d{x^2}}} + 3x\frac{ {dy}}{ {dx}} – y = 0 2x2dx2d2y​+3xdxdy​−y=0

在这里插入图片描述
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The Airy equation. d 2 y d x 2 = x y ⁡ ( x ) \frac{ { {d^2}y}}{ {d{x^2}}} = x\operatorname{y} \left( x \right) dx2d2y​=xy(x)

在这里插入图片描述
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          • 未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
          • 求微分方程级数解
          • 为具有不同单边限制的函数指定初始条件(特解)
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