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一、 消除量词 等值式
消除量词等值式 :
有限个体域
D = \{a_1 , a_2 , \cdots , a_n\} , 消除量词 的 等值式 :
有限个体域 消除 全称量词 :
\forall x A(x) \Leftrightarrow A(a_1) \land A(a_2) \land \cdots \land A(a_n)有限个体域 消除 存在量词 :
\exist x A(x) \Leftrightarrow A(a_1) \lor A(a_2) \lor \cdots \lor A(a_n)一定要注意前提 : 有限个体域 ;
个体域是无限的时候 , 就需要量词 , 如 全总个体域 ;
二、 量词否定 等值式
否定全称量词 : 全称量词
\forall 之前 的 否定联结词 , 可以移到 量词 之后 , 量词要变成 存在量词
\exist ;
\lnot \forall x A(x) \Leftrightarrow \exist x \lnot A(x)等值式解读 :
\lnot \forall x A(x) : 不是所有的
x 都有性质
A ;
\exist x \lnot A(x) : 存在
x 不具有性质
A ;
否定存在量词 : 存在量词
\exist 之前 的 否定联结词 , 可以移到 量词 之后 , 量词要变成 全称量词
\forall ;
\lnot \exist x A(x) \Leftrightarrow \forall x \lnot A(x)等值式解读 :
\lnot \exist x A(x) : 不存在
x 具有性质
A ;
\forall x \lnot A(x) : 所有的
x 都不具有性质
A ;
三、 量词辖域收缩扩张 等值式
假设
B 是公式 ,
B 中不含有
x ( 前提很重要 ) ;
1. 全称量词 辖域收缩扩张 ( 析取联结词 ) :
\forall x ( A(x) \lor B ) \Leftrightarrow \forall x A(x) \lor B\forall x 的辖域是
( A(x) \lor B )\forall x 的辖域是
A(x)( A(x) \lor B ) 收缩为
A(x)A(x) 扩张为
( A(x) \lor B )2. 存在量词 辖域收缩扩张 ( 析取联结词 ) :
\exist x ( A(x) \lor B ) \Leftrightarrow \exist x A(x) \lor B\exist x 的辖域是
( A(x) \lor B )\exist x 的辖域是
A(x)( A(x) \lor B ) 收缩为
A(x)A(x) 扩张为
( A(x) \lor B )3. 全称量词 辖域收缩扩张 ( 合取联结词 ) :
\forall x ( A(x) \land B ) \Leftrightarrow \forall x A(x) \land B\forall x 的辖域是
( A(x) \land B )\forall x 的辖域是
A(x)( A(x) \land B ) 收缩为
A(x)A(x) 扩张为
( A(x) \land B )4. 存在量词 辖域收缩扩张 ( 合取联结词 ) :
\exist x ( A(x) \land B ) \Leftrightarrow \exist x A(x) \land B\exist x 的辖域是
( A(x) \land B )\exist x 的辖域是
A(x)( A(x) \land B ) 收缩为
A(x)A(x) 扩张为
( A(x) \land B )5. 全称量词 辖域收缩扩张 ( 蕴含联结词 B 在右 ) :
\forall x ( A(x) \to B ) \Leftrightarrow \exist x A(x) \to B\forall x 的辖域是
( A(x) \to B )\exist x 的辖域是
A(x)( A(x) \to B ) 收缩为
A(x)A(x) 扩张为
( A(x) \to B )6. 存在量词 辖域收缩扩张 ( 蕴含联结词 B 在右 ) :
\exist x ( A(x) \to B ) \Leftrightarrow \forall x A(x) \to B\exist x 的辖域是
( A(x) \to B )\forall x 的辖域是
A(x)( A(x) \to B ) 收缩为
A(x)A(x) 扩张为
( A(x) \to B )( 使用 蕴含等值式 消去 蕴含联结词 可以证明 )
7. 全称量词 辖域收缩扩张 ( 蕴含联结词 B 在左 ) :
\forall x ( B \to A(x) ) \Leftrightarrow B \to \forall x A(x)\forall x 的辖域是
( B \to A(x) )\forall x 的辖域是
A(x)( B \to A(x) ) 收缩为
A(x)A(x) 扩张为
( B \to A(x) )8. 存在量词 辖域收缩扩张 ( 蕴含联结词 B 在左 ) :
\exist x ( B \to A(x) ) \Leftrightarrow B \to \exist x A(x)\exist x 的辖域是
( B \to A(x) )\exist x 的辖域是
A(x)( B \to A(x) ) 收缩为
A(x)A(x) 扩张为
( B \to A(x) )四、 量词分配 等值式
1. 全称量词 对于 合取
\land 的分配率 :
\forall x ( A(x) \land B(x) ) \Leftrightarrow \forall x A(x) \land \forall x B(x)理解 : 所有的对象都具有
A , B 两个性质 , 等价于 所有的对象都具有
A 性质 和 所有对象都具有
B 性质 ;
存全称量词 对于 合取联结词
\land 有分配率 , 对于 析取联结词
\lor 不适合分配率 ;
2. 存在量词 对于 析取
\lor 的分配率 :
\exist x ( A(x) \lor B(x) ) \Leftrightarrow \exist x A(x) \lor \exist x B(x)理解 : 存在对象 要么有
A 性质 , 要么有
B 性质 ;
存在量词 对于 析取联结词
\lor 有分配率 , 对于 合取联结词
\land 不适合分配率 ;