【集合论】关系闭包 ( 关系闭包相关定理 )

韩曙亮

发布于 2023-03-28 18:05:05

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文章目录

一、关系闭包相关定理 ( 闭包运算不动点 )

R

关系是

A

集合上的二元关系 ,

R \subseteq A

, 且

A

集合不为空集 ,

A \not= \varnothing

R

关系是自反的 , 当且仅当

R

关系的自反闭包

r ( R )

也是

R

关系本身 ;

R 自反 \Leftrightarrow r(R) = R

R

关系是对称的 , 当且仅当

R

关系的对称闭包

s ( R )

也是

R

关系本身 ;

R 对称 \Leftrightarrow s(R) = R

R

关系是传递的 , 当且仅当

R

关系的传递闭包

t ( R )

也是

R

关系本身 ;

R 传递 \Leftrightarrow t(R) = R

二、关系闭包相关定理 ( 闭包运算单调性 )

R_1 , R_2

关系是

A

集合上的二元关系 ,

R_2

关系包含

R_1

关系 ,

R_1 \subseteq R_2 \subseteq A \times A

, 且

A

集合不为空集 ,

A \not= \varnothing

R_1

关系的自反闭包包含于

R_2

关系的自反闭包

r(R_1) \subseteq r(R_2)

R_1

关系的对称闭包包含于

R_2

关系的对称闭包

s(R_1) \subseteq s(R_2)

R_1

关系的传递闭包包含于

R_2

关系的传递闭包

t(R_1) \subseteq t(R_2)

三、关系闭包相关定理 ( 闭包运算与并运算之间的关系 )

R_1 , R_2

关系是

A

集合上的二元关系 ,

R_2

关系包含

R_1

关系 ,

R_1 \subseteq R_2 \subseteq A \times A

, 且

A

集合不为空集 ,

A \not= \varnothing

自反闭包并集 :

R_1

关系与

R_2

关系并集的自反闭包 , 等于

R_1

关系的自反闭包与

R_2

关系的自反闭包的并集 ;

r(R_1 \cup R_2) = r(R_1) \cup r(R_2)

对称闭包并集 :

R_1

关系与

R_2

关系并集的对称闭包 , 等于

R_1

关系的对称闭包与

R_2

关系的对称闭包的并集 ;

s(R_1 \cup R_2) = s(R_1) \cup s(R_2)

传递闭包并集 :

R_1

关系与

R_2

关系并集的传递闭包 , 包含

R_1

关系的传递闭包与

R_2

关系的传递闭包的并集 ;

t(R_1 \cup R_2) \supseteq t(R_1) \cup t(R_2)

四、传递闭包并集反例

传递闭包的反例 :

集合

A = \{a, b\}

关系

R_1 = \{ <a,b> \}

, 关系

R_2 = \{ <b,a> \}

R_1

关系的传递闭包 :

t(R_1) = \{ <a,b> \}

R_2

关系的传递闭包 :

t(R_2) = \{ <b,a> \}

并集的闭包 :

t(R_1 \cup R_2) = \{ <a,b> , <a,a> , <b,a> , <b,b> \}

闭包的并集 :

t(R_1) \cup t(R_2) = \{ <a,b> , <b, a> \}

, 该关系是非传递的 ;

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原始发表：2020-10-08，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

闭包

集合

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