【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 傅里叶变换物理意义 | 反应信号在整个数字角频率上的能量分布 )

韩曙亮

发布于 2023-03-30 12:03:56

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文章被收录于专栏：韩曙亮的移动开发专栏

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一、傅里叶变换物理意义

一、傅里叶变换物理意义

x(n)

序列的傅里叶变换

X(e^{j\omega})

的物理意义 :

傅里叶变换 : 根据

x(n)

求

X(e^{j\omega})

X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}

傅里叶反变换 : 根据

X(e^{j\omega})

求

x(n)

x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega

注意上面的

x(n)

是序列 ,

X(e^{j\omega})

是傅里叶变换 ;

傅里叶变换物理意义 是反应信号在整个数字角频率

\omega

上的能量分布的情况 ;

任何一个周期函数 , 都可以使用

\sin

函数来组合 ;

任何一个函数

x(n)

序列 , 都可以使用

x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega

表示 ,

其中

e^{j \omega k}

是单位复指数序列 ,

X( e^{j \omega } )

是傅里叶变换 ,

\int_{-\pi} ^\pi

积分表示求和的极限过程 , 无数个 " 数字角频率

\omega

" 在

[-\pi , \pi]

中带有不同加权系数的 " 单位复指数序列

e^{j\omega n}

" 求和过程 ;

这些 " 复指数序列 " 代表不同的 " 频率分量 " ,

加权系数

X( e^{j \omega } )

称为

x(n)

的 " 频谱密度函数 " ;

x(n)

序列 " 的 " 序列傅里叶变换

SFT =X( e^{j \omega } )

" , 本质上是该 "

x(n)

序列 " 的一种分解 ;

\cos \omega_0T

的傅里叶变换 :

信号的所有能量都集中在

\omega_0

上 ,

傅里叶变换反应信号能量在频率上的分布情况 ,

如果能量无穷 , 则在某个频率点的值是无穷的 ;

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原始发表：2022-03-07，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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