正交编码 正交编码的基本概念 正交性 若两个周期为 T 的模拟信号
s_{1}(t) 和
s_{2}(t) 互相正交, 则有
\int_{0}^{T} s_{1}(t) s_{2}(t) d t=0
同理, 若 M 个周期为 T 的模拟信号
s_{1}(t) ,
s_{2}(t) ,
\ldots ,
s_{M}(t) 构成一个正交信号集合，则有
\int_{0}^{T} s_{i}(t) s_{j}(t) d t=0 \quad i \neq j ; \quad i, j=1,2, \ldots, M 互相关系数 对于二进制数字信号, 用一数字序列表示码组。这里, 我们只讨论二进制且码长相同的编码。这时, 两个码组的正交性可用如下形式的互相 关系数来表述。
设长为
\boldsymbol{n} 的编码中码元只取值 +1 和 -1 , 假设
\boldsymbol{x} 和
\boldsymbol{y} 是其中两个码组:
x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}) \quad y=(y_{1}, y_{2}, y_{3}, \cdots, y_{n})
其中:
x_{i}, y_{i} \in(+1,-1), \quad i=1,2, \cdots, n 若码组 x 和 y 正交, 则必有
\rho(x, y)=0 。
\rho(x, y)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} 正交编码 例如, 右图所示 4 个数字信号可以看作是如下4 个码组:
\{\begin{array}{l} s_{1}(t):(+1,+1,+1,+1) \\ s_{2}(t):(+1,+1,-1,-1) \\ s_{3}(t):(+1,-1,-1,+1) \\ s_{4}(t):(+1,-1,+1,-1) \end{array}. 按照互相关系数定义式计算容易得知, 这 4 个码组中任意两者之间的相关系数都为 0 , 即这 4 个码组两两正交。我们把这种两两正交的编码称为正交编码 。
用二进制数字表示互相关系数
在二进制编码理论中, 常采用二进 制数字 “ 0 ”和 “ 1 ”表示码元的可能 取值。这时, 若规定用二进制数字 “0”代替上述码组中的 “+ 1 ”, 用 二进制数字 “ 1 ”代替 “ -1 ”, 则上 述互相关系数定义式将变为
\rho(x, y)=\frac{A-D}{A+D}
式中, A——x 和 y 中对应码元相同的个数;
D—— x 和 y 中对应码元不同的个数。
例如, 按照左式规定, 上面例 子可以改写成
\{\begin{array}{l} s_{1}(t):(0,0,0,0) \\ s_{2}(t):(0,0,1,1) \\ s_{3}(t):(0,1,1,0) \\ s_{4}(t):(0,1,0,1) \end{array}. 可以验证互相关系数
\boldsymbol{\rho}=\mathbf{0} .
自相关系数 上式中, 若用 x 的 j 次循环移位代替 y , 就得到 x 的自相关系数
\rho_{x}(j) 。 具体地讲，令
\begin{array}{l} x=(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) \\ y=(x_{1+j}, x_{2+j}, \cdots, x_{n}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{j}) \end{array}
代入定义式
\rho(x, y)=\frac{A-D}{A+D} 就得到自相关系数
\rho_{x}(j) :
\rho_{x}(j)=(A-D) / n
类似上述互相关系数的定义, 可以对于一个长为 n 的码组 x 定义其自相关系数为
\rho_{x}(j)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} x_{i+j}, \quad j=0,1, \cdots,(n-1)
式中, x 的下标按模 n 运算, 即有
x_{n+k} \equiv \mathbf{x}_{k} 。例如, 设
x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})=(+1,-1,-1,+1)
则有
\begin{array}{l} \rho_{x}(0)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}=1\\ \rho_{x}(1)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{\overline{\overline{4}}^{4}} x_{i} x_{i+1}=\frac{1}{4}(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+x_{4} x_{1})=\frac{1}{4}(-1+1-1+1)=0 \\ \rho_{x}(2)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{1} x_{i} x_{i+2}=\frac{1}{4}(x_{1} x_{3}+x_{2} x_{4}+x_{3} x_{1}+x_{4} x_{2})=-1 \\ \rho_{x}(3)=\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{\overline{4}^{1}} x_{i} x_{i+3}=\frac{1}{4}(x_{1} x_{4}+x_{2} x_{1}+x_{3} x_{2}+x_{4} x_{3})=0 \end{array} 超正交码 超正交码：相关系数 ρ \rho ρ 的取值范围在 ± 1 \pm 1 ±1 之间, 即有 -1 \leq \rho \leq+1 。 若两个码组间的相关系数 ρ < 0 \rho<0 ρ<0 , 则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任两码组间均超正交, 则称这种编码为超正交码。
例如, 在上例中, 若仅取后 3 个码组, 并且删去其第一位, 构成如下新的编码:
\{\begin{array}{l} s_{1}{ }^{\prime}(t):(0,1,1) \\ s_{2}{ }^{\prime}(t):(1,1,0) \\ s_{3}{ }^{\prime}(t):(1,0,1) \end{array}. 则不难验证, 由这 3 个码组所构成的编码是超正交码。
双正交编码 由正交编码和其反码便可以构成双正交编码。
例：上例中
正交码为
\{\begin{array}{l}s_{1}(t):(0,0,0,0) \\ s_{2}(t):(0,0,1,1) \\ s_{3}(t):(0,1,1,0) \\ s_{4}(t):(0,1,0,1)\end{array} 其反码为
\{\begin{array}{l}(1,1,1,1) \\ (1,1,0,0) \\ (1,0,0,1) \\ (1,0,1,0)\end{array} 上两者的总体即构成如下双正交码:
(0,0,0,0) \quad(1,1,1,1) \quad(0,0,1,1) \quad(1,1,0,0)(0,1,1,0) \quad(1,0,0,1) \quad(0,1,0,1) \quad(1,0,1,0) 此码共有 8 种码组, 码长为 4 。
正交沃尔什函数 沃尔什(Walsh)函数集是完备的非正弦型的二元（取值为+1与-1）正交函数集, 其相应的离散沃尔什函数简称为沃尔什序列或沃尔什码。 沃尔什函数是定义在半开区间 [0,1) 的矩形波族, 每个矩形波有一个编号 n(
n=0,1,2,3, \ldots ) 。
矩形波幅度的取值为 +1 或 -1 , 规定起始时矩形波的取值为 +1 , 然后在 +1 与 -1 之间变化, 变化的次数 (+1 变 -1 与 -1 变 +1 的次数之和）
m=n , 在 +1 或 -1 上持续的时间可以相等, 也可以不相等 (不相等时较长的持续时间
T_{1} 为较短的持续时间
T_{\mathrm{s}} 的两倍）。 编号为 n 的沃尔什函数用
\mathrm{Wal}(n, t) 表示, 沃尔什函数的波形如图所示。
补充（度量空间）的完备性定义:
度量空间 X = ( X , d ) X=(X, d) X=(X,d) 中的序列 ( x n ) (x_{n}) (xn) , 如果对任意给定的 \varepsilon \gt 0 , 都存在一个 N = N ( ε ) \mathrm{N}=\mathrm{N}(\varepsilon) N=N(ε) , 使得对每个 m \mathrm{m} m, n > N \mathrm{n}>\mathrm{N} n>N 都有 d ( x m , x n ) < ε \mathrm{d}(\mathrm{x}_{\mathrm{m}}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}})<\varepsilon d(xm,xn)<ε 则称它是一个柯西序列。如果空间 X 中的每个柯西序列都收敛, 则称 X 是完备的。
一个完备的函数集, 应该能表示出其空间上的所有函数。
离散沃尔什函数的构成 离散沃尔什函数也称沃尔什序列或沃尔什码, 用哈达马矩阵的行(或列)可以构成离散沃尔什函数
一阶哈达马矩阵为
H_{1}=\text { [1] }
高阶哈达马矩阵的递推公式如下:
H_{N_{m}}=[\begin{array}{rr} H_{N_{m-1}} & H_{N_{m-1}} \\ H_{N_{m-1}} & -H_{N_{m-1}} \end{array}]
式中,
N_{m}=2^{m} ,
m=1,2,3, \ldots 。
例如, m=1 时
\begin{array}{c} H_{N_{1}}=H_{2}=[\begin{array}{rr} H_{1} & H_{1} \\ H_{1} & -H_{1} \end{array}]=[\begin{array}{rr} 1 & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{- 1} \end{array}] \\ H_{N_{2}}=H_{4}=[\begin{array}{rr} H_{2} & H_{2} \\ H_{2} & -H_{2} \end{array}]=[\begin{array}{rrrr} 1 & \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{1} & -\mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{- 1} & -\mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{- 1} & -\mathbf{1} & \mathbf{1} \end{array}] \end{array} m=3 时 H N 3 =
沃尔什函数的基本性质 (1) 在半开区间 [0,1) 上正交, 即
\int_{0}^{1} \operatorname{wal}(i, t) \operatorname{wal}(j, t) \mathrm{d} t=\{\begin{array}{cc} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{array} \quad i, j=0,1,2, \cdots. 该性质为沃尔什函数基本性质中最重要的性质。
(2) 除
\mathrm{Wal}(0, t) 外，其他
\mathrm{Wal}(n, t) 在半开区间 [0,1) 上的均值为 0 .
(3) 两个沃尔什函数相乘仍为沃尔什函数，即
\operatorname{Wal}(i, t) \operatorname{Wal}(j, t)=\operatorname{Wal}(kt)
这表示沃尔什函数对于乘法是自闭的。
(4) 沃尔什函数集是完备的, 即长度为
\mathrm{N} 的离散沃尔什函数 (沃尔什序列)一共有
\mathrm{N} 个。
(5) 沃尔什函数在同步时是完全正交的。
(6) 沃尔什函数在不同步时, 其自相关和互相关特性均不理想, 并随同步误差值的增大而快速恶化。
(7) 同长度不同编号的walsh函数的频带宽度不同。
参考文献：
Proakis, John G., et al. Communication systems engineering . Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering . Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012. 
